Das Oktaeder und die Gleicliimg vierten Grades. 79 



wclclie, wenn nmn /.. B. die Tafel von Legeudre's Traite des fonetions elliptiqiies, Toni. II, p. 40(), 

 benutzt, iu der Tliat iür C in beiden Füllen denselben Werth liefern, wenn man nucli (iebraucb niacbt von 

 der Formel 



^ ' sin An- r(i -+-a) 

 <lenn dnnn findet man 



C= 3-22378..., ...H) 



welchen Wertli man in E) nnd F) nocli einzuführen hat, um dadurch für den grosseren Theil der positiven 

 A'-Ebene die Oktaedergleichung durch E), F) und H) gelo.st zu haben. 

 Ist nämlich im Allgemeinen 



-yi 





nnd wird A' in der A'-Ebene als ein Tunkt mit den rechtwinkeligen Coordinaten (.r, ?/") interpretirt, so conver- 

 giren nach bekannten Regeln (man verglci(die hiezu z. B. Gauss' Oiiginahiiihandlung über die hypergeome- 

 trische Reihe), die beiden hypergeonietrisclien Reihen, welche in E) vorkommen, für jedes A', welches auf 

 der Peripherie eines Kreises vom Radius 1 und dem Centrum iu {x^O, //=U) liegt und ausserhalb des- 

 selben, also in jenem Raum, welcher in Fig. 5 straffirt ist. Ebenso convergiren die beiden hypergeometri- 

 schen Reihen in F) für jedes A', welches auf oder ausserhalb eines Kreises vom Radius 1 und dem Centruni 

 in a; ^ 1 , «/=0 liegt, also iu dem straffirtcu Theile der Fig. 6. Überhaupt bemerke ich, dass Zähler und 

 Nenner von F) mit dem Zähler und Nenner von E) übereinstimmen, bis auf den Convergeuzbereich, und also 

 nur als eine andere Schreibweise aufzufassen sind, so dass sie also für einen Punkt A', welcher in dem 

 gemeinsamen Convergenzberciche liegt, denselben Werth für 4' liefern müssen, aus leicht angebbaren Gründen. 

 Es ist fast selbstverständlich, dass die 24ten Wurzeln so zu wählen sind, dass | immer eine Amplitude gleich 



oder kleiner als ': hat, damit der Punkt t eben in dem Dreiecke AED, Fig. 3, liegt. 



Aus dem Gesagten ergibt sich, dass ich, um für ein beliebiges A' das t durch eonvergente hypergeome- 

 trische Reihen zu erhalten, nur die analytische Fortsetzung von E) und F) iu demjenigen Gebiete von A' zu 

 geben habe, welches in Fig. 7 straffirt ist, denn für dieses ist sowohl E) als F), weil divergent, unbrauchbar. 



Um nun auch hiefür eonvergente Reihen zu erhalten, benütze ich die beiden Integrale in A) und B), 

 nämlich 



welche für das bisher noch ausgeschlossene Gebiet gleichzeitig convergent sind, und setze zu diesem Behufe 

 ^^'"4-^4' Ä' l i]=-^(24' -24' 3-' ""h'^ik^ -W '2' '-A ■■■'^ 



^_^ r5 13 5 1|_ |5 1 2 „1 ^_r5 1 1 , „) ^^ 



^^ I24' 24' 4' äJ~^^"124' "24' 3' ^^J ^^ 124' ~24' 2' ^~'M -'^^ 



-Mi--v-^^, g i T4T)=-'4ä' -w h ^]-^'^(Ä' -L' h ^-^]-") 



und bestimme die Constnnten xl, x' V durch die Bedingungen, dass ich in I) und L) A'=l setze, nnd in 

 K) und M) A' = 0, welche Wcrthe eben durch die oben bezeichneten Convergenzberciclie gefordert und zu- 

 lässig sind, dann wird nändich die analytische Fortsetzung von E) und F) durch die Formel gegeben: 



