r ItisI '^is I' I v^ I 'i"l l"i Decimalstelleu genau keunt, liöclist wahrscheiulicL eine weit genauere Rechnung 



t)as Oktaeder und die Gleichung viei-ten Grades. 8 1 



Dass mau die Oklaedergleichung aiicli auf eine andere Weise diircli iiypergeomcfrisclie Reihen lösen 

 kann, liegt auf der Hand, denn nach §. 3 dieses Abschnittes ist die Uktaedergleichuug dem Systeme von fol- 

 genden zwei Tetraedergleichuugen ä(|uivalent: 



AHO _ X - 2 -H 2 ]fT^X 



f\^) ^- 



/"(g) ^ X— 2 ^- 2 ^T^Tx 

 ÄS (4) X ' 



und jede derselben lässt sich in analoger Weise wie die Oktaedergleichuni; durch hypergeometrische Reihen 

 lösen, wobei der Umstand, dass nuui nach Legendre's Fonctions elliptiques, II, p. 455, die Wertlie von 



iÄl^^^'1r2j 



von C gestattet. 



Man vergleiche zu diesem Abschnitte die Lösung der Oktaedergleichung durch elliptische Functionen, 

 wie sie Klein in dem XIV. Baude der Mathem. Ann., p. 157 gibt, iudem er t als einen Quotienten zweier 

 unendlicher Produete, welche q = e"'^"' enthalten, finden lehrt. 



§. 6. Rationale Transformation der Oktaedergleichung in eine andere Oktaedergleichung. 



Bevor ich diesen Abschnitt schliesse, will ich noch in möglichster Kürze Einiges über die rationale Trans- 

 formation der Oktaedergleichung in eine andere hinzufügen , da dasselbe das Frühere, zumal die Oktaeder- 

 gruppe, von einem anderen Standininkte aus beleuchtet und zu anderen Lösungen der Oktaödergleichung 

 durch hypergeometrische Reihen benützt werden kann. Denkt man sich nämlich eine rationale Function von 

 C, , Cjj von der Dimension 0, also 



>- = ^' = _ fßSki^ n 



so entspricht jedem Werthe von * einWerth von J und den 24 Werthen von -J- , welche einer Oktaeder- 

 gleichung genügen, 24 Werthe von ^, welche als Wurzeln einer Gleichung 



x(0 = o •••II) 



betrachtet werden können; es entsteht nun die Frage, wann lässt sich 11) als eine Oktaedergleichung mit 

 dem Parameter A'' betrachten, welcher eine rationale Function von X, dem Parameter in der Oktaederglei- 

 chung für ^, ist? Dann hat also II) die Form 



wo ^ (A') eine rationale Function von X ist. 



Ist dies nun der Fall, so entsprechen den '2A Substitutionen für t,=^4-, welche ich mit <St bezeichnen 



will, 24 Substitutionen S?, «welche sich auf ^ beziehen, und deren Totalitäten natürlich als Oktaedersubsti- 

 tutionen übereinstimmen müssen, deren einzelne Substitutionen aber sich noch nicht einzeln zu entsprechen 

 brauchen, in der Weise, dass dieselbe Siibstilulion auf £ und ; gleichzeitig angewendet werden muss, um 

 sich gegenseitig zu entsprechen. Allein so viel ist klar, dass die Substitutionen, welche um Punktepaare von 

 F, H und T drehen, uucii nur solchen Substitutionen entsprechen können, welche um Punkte aus derselben 

 Punktgruppe drehen, also den i^-Substitutionen für t können nur i^-Suhstitntionen für ^ entsprechen u. s. w., 

 da sonst die beiderseitigen Gruppen ditferent wären. Dieser Umstand führt ohne Mühe zu den rationalen 

 Transformationen I). Denn überlegen wir, welche Substitution für c kann der Substitution i't zugeordnet 

 werden? Da nämlich it. eine primitive Substitution um die Axe (0 cx:>) ist, von der Periode 4. während ihre 



Denk^^cbriltun dur mathem. -uaturw. t'l. XLI. Bii. AbLauaiuuguu vuu Nichtmitgliederu. \ 



