Das Olfarihr und die Glcichimq vierten Grades. 85 



gens kaum wescntlielie Schwierigkeiten darbieten dürfte. — Damit will icli die l^ösung der Oktaeder- 

 gleichuug boschlicssen. 



Dritter Abschnitt. 

 Resolventen des Oktaeders. 



§. 1. Resolventen für F und H. 



Ich kehre nun zu dem Gesichtspunkte des §. 2 im zweiten Abschnitte zurück, wonach es heim Oktaeder 

 Functionen, oder besser gesagt, binäre Formen gibt, welche bei allen Oktaedersnbstitutionen in einander 

 übergehen, oder auch einzeln ungeändert bleiben; es sind dies irrationale Covarianten des Oktaeders von 

 der Art, dass immer mehrere zusammengehören, also ein System bilden, z.B. die drei Hauptaxen des 

 Oktiieders oder die vier Würfel diagonalen, oder auch die sechs quadratischen Formen / des §. 5 im ersten 

 Abschnitte, vrelchc immer einzeln völlig coordinirt sind. 



Ausser diesen gibt es natürlich noch unzählig viele andere irrationale Covarianten des Oktaeders, welche 

 ganz ähnlich sich verbalten. 



Da nun im ersten Abschnitte gezeigt wurde, dass F, H und T das vollständige Formensystem von F 

 bilden, so muss es gelingen, jedes zusammengehörige System solcher Covarianten als Wurzeln einer Glei- 

 chung darzustellen, deren Coefticicnten in F, H und T rational und ganz sind. Dies also ist der Grund für 

 die Möglichkeit derartiger Resolventenbildungen, wobei ich noch bemerke, dass in solchen Gleichungen nur 

 T'^ und keine höhere Potenz derselben aufzutreten braucht, und selbst diese noch wegen 



elimiuirt werden kann, also in die Coefficienten der Resolvente nur H und seine Potenzen, sowie F'^ und seine 

 Potenzen eingehen, denn H bleibt in einer beliebigen ganzen Potenz ungeändert, dagegen von F nur die 

 geraden Potenzen desselben. 



Ehe ich jedoch einen Schritt weiter gehe, will ich noch daraufhinweisen, dass man geometrisch die Wir- 

 kung einer Oktaedersubstitution auf eine solche irrationale Covariante, z. B. die WUrfeldiagonalen y, , y^; 

 ^3, y, des §. 5 im ersten Abschnitte von vornherein angeben kann, wenn man sich die Anordnung derselben 

 und ihre Lage gegen die Axe der betreffenden Substitution zuvor klargemacht hat, da hieraus sofort sich 

 erkennen lässt, in welcher Weise die lf^...f^ sich vertauschen oder ungeändert bleiben. Projicirt man z. B. 

 die H- und T- Punkte von einem unendlich fernen Punkte der positiven s-Axe auf die Zeichnungsebene, so 

 erhält man für die Lage von y,...^^ und /^---'/y, •l'ß Figur 14 und erkennt hieraus sofort, dass bei der Sub- 

 stitution j?, welche um den Nullpunkt der Kugel wie der Uhrzeiger dreht, also um den Uncndlichkeitspunkt 

 entgegengesetzt, die ^ sich cyklisch vertauschen müssen, was zutrifft, denn dadurch übergeht f^ in y^, letz- 

 teres in ^3, dieses in f^ und aus f^ wird f^, also hat man die Substitution {Jf^, '^j,, ^3, <f^. Um auf die y 

 zu kommen, so erkennt man, dass dieselben bei derselben Substitution zwei Cyklen von vier und zwei Glie- 

 dern bilden, nämlich (/j, /., y,, -/^^ und f^i» Xi); ""'^ sf''"" hieraus lässt sich folgern, dass z. B. die Glei- 

 chung sechsten Grades für die y, weil ihre Galois'sche (Sruppe keine Substitution von einer höheren Periode 

 als 4 enthält, algebraisch lösbar ist u. s. w., welches Verhalten von den X, ■••Xg die Ausführung der Substi- 

 tutionen natürlich bestätigt. 



Ich will nun wirklich die Resolventen für 1] und F bilden, und beginne mit /-', indem ich die früher 

 gegebenen drei quadratischen Formen -^ als Wurzeln einer Gleichung dritten Grades darstelle, und dabei, 

 wie im Folgenden, durchwegs zunächst die einzelnen Potenzsummen der Wurzeln für die zu bildende Gleichung 

 aufstelle, um erst hieraus mit Hilfe der bekannten Newton'sclien Formeln die Coeflicienlen der gesuchten 

 Gleichung herzuleiten. 



