T)as Oktaedo- und die Gleichung vierten Grades. 87 



Dass die ronstatitc x' den Wertli Null iumininit, ist nicht etwa zufällig, sondern dies war von Vornherein 

 zu erwarten, da, wenn x' nicht den Wertli Null hätte, in der Gleichung für y die Covariante T in der ersten 

 Potenz auftreten würde, was nicht sein darf, da T wegen der Gleichung 



2'" = //■■'_ 108 i^» 



eine irraticmale und /.war zweiwerthige Covariante von F ist, von der Ja in der That nach dem Früheren erst 

 das Ouadrat bei sänuntlicheii Oktaedersul)stitutionen ungeändert bleibt, so dass ich bei Aufstellung der Glei- 

 chung für ^f'^ das Glied mit T hätte sofort übergehen können. Diese Bemerkung Hesse sicli bei der Auf- 

 stellung von anderen Resolventen beim Oktaeder dahin verallgemeinern, dass in keiner derselben ungerade 

 Potenzen von F und T auftreten dürfen, also /''■' z. 15., falls es irgendwo ang('n(nniucn würde, durch wiik- 

 liche Ausführung der Berechnung seines Coefficieuten den Factor Null erhält u. s. w. Um sich von der Rich- 

 tigkeit der fUeichung für y zu überzeugen, bilde man die beiden Invarianten dieser l)iriiiadratischen Form, 

 nämlich die quadratische t und die kubische J, und aus ihnen mittelst der Formel 



D =^ («•=< —Qß) (Gl e bs ch : Binäre Formen) 



die Discriminante der letzteren. Für diese findet man dann bis auf einen numerischeu Factor F* T^, welches 

 Resultat wieder von einer anderen Seite her zu erwarten war. Denn die Discriminante muss z. B. auch den 

 Factor (y, — ^j)^ enthalten, welcher sich wegen der Gleichung 



<Pi— ^3= ^-3 ^A^'i\-^^l)' 



wenn ich von einem numerischen Factor absehe, auf j^,, /, reducirt, n. s. w., woraus die Richtigkeit erhellt. 

 Ausser den beiden für F und H gebildeten Resolventen kann man natürlich noch unzählig viele andere 

 aufstellen, denn da z. B. F in die sechs linearen Formen 



zerfällt, so könnte man die numerischen Vielfachen von geeigneten Potenzen derselben als Wurzeln einer 

 Gleichung sechsten Grades auffassen, deren Coefticienteu in F, H und T rational und ganz sind u. s. vv., 

 und ein Gleiches gilt natürlich auch von den acht linearen Factoren von H etc. 



§. 2. Zerfällung von T in seine quadratischen Factoren. 

 Um T in seine quadratischen Factoren ;<;, •../„ zu zerfallen, hat man folgenden Ansatz: 



Xi ^- X2 -^ X:i -*- X4 -+- Xs -I- Xb = 



x?+x^ + x;i+x:-+-x^-t-x^ = ^-^ 

 yX-^yX-^yX^yl^yl^yl = -HT^zHF' 



XiXzXsXiX.sXk 2|j -' • 



Durch Vergleichung der Coefficieuten von den höchsten Potenzen der Variabelu t,, t^ auf beiden Seiten 

 der Gleichungen ergibt sich 



x=—\, X = 39, f> = ^, •!- = -^, 



9 _95 



4' ^~ 4 



und was nach dem Frühereu selbstverständlich ist , ja = a = U. 



