Das Oklaeihr und die Gleichung vierten Grades. 89 



Eiiisiclit gibt die Anwendung des im vorlieigehenden Paragraphen Gesagten, wonacli in Folge der geonietri- 

 sciicn Betraciitung die Gleichung sechsten Grades in ihrer Galois'schen Gruppe keine Suhstitution einer 

 höheren Periode als 4 enthält u. s. w. 



Da man ferner die Oktacdergleic!iung aurh durcli hypergeometrische Reihen lösen kann, so ist die Glei- 

 chung für Xf-Xs '''"'''' f1'"''-''i solche Reihen lösba- neben der algebraischen Lösung. 



Was weiter das Tetraeder betriift, so könnte man sich auch bei ihm die Aufgabe stellen, die linearen 

 Factoren von/, h und t '.. B. in geeigneten Potenzen als Wurzeln einer Gleicliung auf/Jifassen , welche ihre 

 Coctficienten aus/, h und t ganz und rational aufbaut, doch will icii hierauf nicht weiter eingehen und ver- 

 w.'ise hier nur auf ein derartiges Beispiel, das Klein im 14. Bande der Mathem. Annalen, p. 154 gibt, wobei 

 er allerdings eine andere Form der Tetraedergleichung voraussetzt. 



§. 3. Lösung der allgemeinen Gleichung dritten Grades, Cardanische Formel. 



Nimmt man die allgemeine Gleichung dritten Grades an in der Form 



a? -^ ax-\-b = 0, 

 und setzt ihre Wurzeln folgenden Functionen von f , , fj gleich: 



so kann man x^, x^, x^ als die drei Hauptaxen eines Oktaeders auffassen, und bringt die Lösung der obigen 

 Gleichung dritten Grades sofort auf eine Oktaeder- oder Tetraedergleichung, wenn mau sie mit der Gleichung 

 für -^ vergleicht und also setzt : 



H=-a, 4F* = b, 



4 «3 



denn dann wird A', der Parameter der Oktaedergleichung, den Werth — -^i=-t2 haben, und die Gleichung I") 

 des §. 3 im zweiten Abschnitte lautet jetzt : 



aus welcher Gleichung bei geeigneter Wahl des Werthes von tj, für eine Wurzel x sofort nach Auflösung einer 

 quadratischen Gleichung der Werth 



3 3 



umn' --\/-',-fm^ 



3_ 



fliessen muss, wo « := / 1 ist. 



Man vergleiche hiezu die berühmte Abhaudkiug von Lagrauge aus dem 2. Bande der neuen Memoiren 

 der königl. Akademie der Wissenschaften, wie sie in Euler's Analysis des Unendlichen, herausgegeben von 

 Michclscn, sich tiudet, 3. Buch, p. 277. Damit will ich diesen Abschnitt schliesseu und übergehe dazu, die 

 allgemeine Gleichung vierten Grades mit dem Oktaeder zu verknüpfen, wobei ich nur noch bemerke, dass 

 die cyklischc Permutation zweier Wurzeln oder dreier als 



{x^ x^) , (a;, x^) {x^ x^ und (.r, x^ x^ {x^ x^ x^) 



ihr geometrisches Bild in den Drehungen durch n um irgend eine der drei Axen (0 oo), (-t-1 —1), (h-»' — 0> 



resp. durch 2^,4- um irgend eine Diagonale des Würfels H, welche einander völlig coordinirt sind, finden. 



UciikJchriften der niathcm.-iialurw. CI. XLI. lld Abhan-ilungcn von Nichtmitgliedern. m 



