<J0 Anton J'Hchta. 



Vierter Abschnitt. 

 Die Gleichung vierten Grades. 



§. 1. Transformation derselben. 



Ich nehme die allgemeine Gleichung vierten Grades gleich in der Form an: 



X* -\- ax^ -h bx-i- c = 0, 



weil dann die Eechniing bedeutend einfacher wird, und transformire dieselbe mittels der Tschirnhausen'- 

 schen Substitution 



y := « -I- ß ic -t- 2 a;'^ . • .1) 



in die folgende 



//* -f- Mi/^ -t- Ny^ -h A if -h- B = 0. 



Die Constanten a und ß bestimme ich nun so, dass ilf und iV^ verschwinden, und gewinne daher folgende 

 zwei Gleichungen: 



M= — i:y = — 4a — ßS.-r- 2^x^ 



= — 4a-4a = 0, 

 also « =: — a und dann wird 



2N={y:ijy—y:if = —'s,i/ = 2aß'^-hi2bß^i6c~i2a^ = o, 



also 



— 3b±\/9b^-h2a^ — Sac 



P = ■ 



a 



Hiedurch ist also die Transformation I) bestimmt und die Gleichung für y lautet: 



y* -+- Ay ^ B =^ 0. ...II) 



Diese Form II) der Gleichung vierten Grades werde ich nun immer voraussetzen und die Congruenz 

 derselben mit der Theorie des Oktaeders nachweisen. Den Grund, warum ich zuerst 'Zy und Sy* auf Null 

 brachte, werden die folgenden Pnrngraplien erkennen lassen; es ist dies der Umstand, dass ich jetzt die vier 

 Wurzeln y als Punkte des Kegelschnittes 2?/^ =0 betrachten kann, und zwar darum, weil die sämmtlicheu 

 Oktaedersnbstitutionen sich als CoUineationen in der ?/-Ebene jetzt deuten lassen; dies wird durch das Fol- 

 gende noch klarer werden. 



§. 2. Congruenz des Oktaeders mit der Gleichung vierten Grades. 



Die Einsicht, dass die Theorie der Gleichung vierten Grades mit dem Oktaeder sich völlig deckt, ergibt 

 sicli durch nachstehende Überlegung. Ich bezeichne die vier Wurzeln der Gleichung II) des vorigen Paragra- 

 I)lion mit y,, y^, y^, y^, oder auch kurz mit 1, 2, 3, 4, und bediene mich des bekannten Sprachgebrauches einer 

 .Substitution im allgemeineren Sinne, um den Übergang von der Function y(y,, y^, y^, y^) zu/(y,, y^, y^, y,^ 

 z. B. zu bezeiclinen, wobei auf die Reihenfolge der Elemente wohl zu achten ist. Es ist desshalb in diesem 

 Beispiele y^ durch y^ und umgekehrt, ersetzt worden, während die übrigen Elemente ungeändert blieben. 



Eine nochmalige Anwendung dieses Processes führt zur ursprünglichen Function, wesshalb ich sage, die 

 benützte Substitution habe die Periode 2, und da hier 2 und 3 cyklich sich vertauschten, bezeichne ich sie in 

 bekannter Weise mit (23). Untersuchen wir, wie viele derartige Substitutionen der Periode 2 aus vier Elemen- 

 ten sich bilden lassen, so erhält man offenbar = *3, nämlich folgende : 



(12), (13), (14), (23), (24), (34) ...a) 



und diese entsprechen den sechs T-Substitutionen des Oktaeders, sowohl der Zahl als der Periode nach. 



