T>aa Oktaede?- aml ilie Gleictmng vierten Grades. 9 l 



Substitutionen der Periode 3 gibt es weiter offenbar M^ . 2 = 8, weil ich 4 mal drei Elemente heraus- 



fasseu kann und jede iiieraus gebildete Substitution wegen der Periode 3 zu zweien Anlass jribt; die aclit 

 Substitutionen entsprechen den acht //-Substitutionen und sind folgende: 



(123), 124), (134), (234), ...b) 



wo die erste z. B. folgende zwei Anordnungen der Wurzel bedingt : 



Endlich Substitutionen der Periode 4 erhält man neun, wovon aber drei die Periode 2 haben, durch sie 

 werden folgende Anordnungen der Wurzeln bedingt: 



ytUaUkl/i, IhViViVi) .'/iViViUs^ •••c) 



hervorgerufen durch die Substitution (1, 2, 3, 4) und ihre Wiederholungen, wobei die mittlere die Periode 2 

 hat und durch (13) (24) zu bezeichnen ist; die Anordnungen 



2/2^42/32/1 ) 2/42/32/12/2' 2/32/1 2/82A 



sind durch die Substitution (1 2 4 3) und ihre Wiederholungen bedingt, die mittlere entspricht der Substi- 

 tution (14) (23), und endlich ist 



2/3 2/« 2/4 2/1 ; 2/jiy4 2/1^3' 2/42/12/32/2 



durch (13 2 4) hervorgerufen und (12) (34) die mittlere. 



Man erkennt diese Anordnungen sofort, wenn man sich die vier Elemente äquidistant auf einem Kreise 

 in der Reihenfolge der Substitution angeordnet denkt, und dann um eine verticale Axc durch das Centruni um 



TZ . 



g dreht; dass dieses in der That so zu denken ist, ergibt sich daraus, dass diese neun Substitutionen den 



/■•Substitutionen entsprechen, und wie sich später zeigen wird, die y mit den vier Würfeldiagonalen in Ana- 

 logie treten, wodurch die bezeichneten Anordnungen sofort auf einmal zu Tage treten. 



Dass keine anderen Substitutionen von einer Periode unter fünf existiren und auch keine einer höheren 

 Periode existirt, ergibt sieh daraus, dass man von der Anordnung 2/12/22/32/4 ausgehend, zu einer beliebigen 

 der 24 möglichen durch die oben bezeichnete Substitution übergehen kann. In Folge dessen ist die Congruenz 

 der Gruppen von Substiiutionen beim Oktaeder und der Gleichung vierten Grades evident, und aus dieser 

 Betrachtung ergibt sich auch, dass vom Standpunkte der Substitutionen aus die Lösung der Gleichung vierten 

 Grades mittelst der kubischen Gleichung, welche die Wurzeln 



''"i = (y 1 -t- 2/8 — 2/3 - 2/4)' ^^\ = (2/1 2/2 — 2/.1 2/4)* 



«'! = (.y 1 -^ 2/3 — 2/2 — 2/4)* oder W^ = (y, y^ - y^ y^f 



«'3 = (2/1 -^y.-y^- 2/4)' ^'"3 =(2/12/4-2/2 2/3)' 



hat, eigentlicii ideutiscli ist in beiden Fällen, und man kann nach einem bekannten sehr allgemeinen Satze 

 von Lagrange in der That rational und ganz von den «• zu den W übergehen, welcher Satz für die Glei- 

 chung vierten Grades sich höchst wahrscheinlich einfach geometrisch beweisen lässt, doch will ich iiicrnuf 

 nicht weiter eingehen. Diese Congruenz der beiden Grujjpen will ich nun in Bezug auf yiy = und -//^ 

 noch klarer machen. Fasst man nämlich die y als plane VierlinienCoordinaten, so hat dies zur Folge, dass 

 jeder Punkt des genannten Kegelschnittes, d. h. seine Coordinaten 1/, y^ y^ y^ als rMtionale Functionen 

 eines Parameters aufgefasst werden können, wodurch die 24 Oktaedersubstitutionen — einschliesslich der 

 Identität — • ihr Analogen in 24 Collineationen haben, so dass wir für die ganze Betrachtung in der y-Ebene 

 wieder eine geometrische Ansdiaulielikeit erhalten, indem immer 24 Punkte zusammengehören, die säinnit- 

 lich ans einem durch die genannten 24 (.'olliiieationeu entstehen, und welche (iru])pe nur in besonderen 

 Fällen, die leicht angebbar sind, weniger aber darum mehrfach zählende enthalten. Für diese letzteren erhält 



