92 Anton Piichta. 



niiiii im Ganzen drei Gruppen, und y,\v:ir folgende: Eine vierfach zählende Gruppe von sechs Punkten — ana- 

 log den F-Punkten — , eine dreil'acli zählende Gruppe von acht, und eine zweifach zählende Gruppe von 

 12 zusauiniengcliörigen Punkten. Die Courdinatcu der ersten Grujjpe werden gefunden, wenn man 1, t, — 1, 



— i. auf alle möglichen Weisen permutirt und nur die verschiedenen her;iusi;ieiit, denn 1, i, —1, — i und 



— 1, —i, 1, i sind wegen der Homogenität identisch. Hieraus ergeben sich für die Coordinateu yii/tiisy^ der 

 viell'ach zählenden Gruppe folgende Werthe : 



1 i — \ — i ...1) 

 1-1 i—i ...3) 

 1 i—i—1 ...5) 



und die Gleichungen der drei Geraden, welche je zwei aufeinanderfolgende verbinden, sind 



yi-*-2/3 = ^ yji->-2/4 = ...I) 



2/i-t-y2 = oder y^-^-y^ = ...II) 



2/1 + 2/4 = 2/j-+-2/3=0. ...III) 



Mehr symmetrisch kann man für diese drei Geraden auch schreiben: 



2/|-+-2/3 — y2 — 2/4 = oder «y, -(- y« -1- ««/g -t- »y, = , ...d) 



für die erste z. B., wenn man Sy =0 berücksiclitigt u. s. w. 



Selbstverständlicher Weise entsprechen diesen Geraden beim Oktaeder die drei Hauptaxen desselben. 

 Diese sechs Puidcte 1)...6) bestimmen ein Sechseck, welches z. B. 8mal ein Brianchon'sches ist u. s. w. 

 Für die Form F als Product der drei Hauptaxen erhält man folgenden Ausdruck : 



-P"^ (2/1 -^-2/^) (2/j-t-2/3) (2/3-^2/1) = {Vt-^Vz) (2/3-^2/4) (?/4^-.Vl) 



= (2/3-^2/4) (y^-^y,) (yi -+-2/3) == (2/4-^-2/1) (2/1 -+-2/2) (2/2 -+-2/4)» 



wofür man mehr symmetrisch auch schreiben kann: 



^' — ^ (2/1 -^ 2/2 — 2/3—2/4) (2/1 -f- 2/3 — 2/2 — 2/4) (2/1 -+- 2/4 — 2/3—2/2) > 



um sofort zu erkennen , dass F'^ — früher F- — bei allen Collineationen nicht verändert wird. Die notirte 

 vierfache Schreibweise von F' entspricht dem Umstände, dass durch drei Gerade, welche sich in einem 

 Punkte schneiden, vier congruente dreiseitige Ecken entstehen, indem beim Oktaeder acht Octanten auftreten 

 u. s. w. Als Coordinaten der acht dreifach zählenden Punkte erhält man unter ikniicksichtigung der beiden 

 Bedingungen : 



Dass so nicht mehr als acht erhalten werden, ergibt sich wieder daraus, dass z. B 0«, 1 a* mit dem 

 letzten identisch ist, wie man durch Multiplication mit «" sofort erhält. 



Sucht man hier die Gleichungen der vier Geraden, welche gegenüberliegende Punkte verbinden, so 

 ergeben sich für diese Gleichungen 



.Vi = 0, ys, = 0, 2/3 = 0, y„^0, 

 oder auch 



2/2 -+- 2/3 ^- 2/4 = 0, »/, -h y.^ -4- ?/, = , ;//, -+- 7/2 -+- ;'/3 = 0. 



