94 An ton Puchta. 



einer Substitution (Ici- Periode o, z.B. »S0 + 1 + ,, welciie durch 2 um einen Durclnnesiser der Kugel dreht, 



der durcli den Sciiwerpunkt der drei Punkte 0, 1, t geiit, rechtfertiat sicli hier, denn nimmt man das Dreieck 

 mit den Reiten ?/, -+-11/^=0, .'/j-i-y.i^O, 3/3-1-2/1 = 0, .so erhält man das hei der ersten, resp. zweiten fest- 

 bleibende Element als gegeben durch 



(Vi -+- y») -+- (y» -^ .^3) — y» — 2/4 _ 



2 ~ 2 ~ 



und 



3 — 3 % — ^• 



Man vergleiche, um die Nothwendigkeit dieses Ergebnisses einzusehen, hiemit das im §. 3 des ersten 

 Abschnittes Gesagte. 



§. 3. Eindeutiges Entsprechen zwischen t und j/fi/iy^^y^. 

 Ist f= ^' der Parameter, welcher den 24 Oktaedersubstitutionen unterworfen wird, so behaupte ich die 



Existenz einer in den Wurzeln ?/, yj.'/g.'/,, linearen rationalen Function /' (»/i.'/j 2/3 ?//,), welche so mit ^ in Bezie- 

 hung steht, dass durch die in vorhergehenden Paragraphen angegebenen 24 Vertauscimngen der y das ^ 

 sämmtliche Oktaedersubstitutionen erfährt. 



Man gelangt zur Einsicht in die Richtigkeit dieser Behauptung und zugleich zur Kenntniss der Function /' 

 auf folgende Weise. Nimmt man den Kegelschnitt 



y\-^yl-<-yl-^-yl = ^, 



so lautet, wie man sehr einfach erhält, die Tangente im Punkte 1) F' (§. 2), mit den Coordinaten 1, t, 

 -1, ~i 



yi-t-«'?/s— 2/3— ^v, = 0- 



Die Gerade ferner, welche den Punkt 1) mit 2), der die Coordinaten 1, — /, — 1, i hat, verbindet, 

 lautet nach a) des §. 2 



«yi -<-?/i-*-0/3-^-?/4 = ö- 



Diese beiden Geraden sclineiden sich also im Punkte 1) von dem Kegelschnitte Sii/ = und können 

 daher zur Bildung des .Strahlenbüschels durch den genannten Punkt als Scheitel benutzt werden : 



?/i -+- '■?/« — ^3 — «>4 — ^(«>i -+- ?/* -^ «ys -^-y») = , 



oder 



^ ^ yiitiyiLzy3_z:iy«^ . . . «) 



«'yi^-y!-^«y3^-yo' 



und dadurch, behaupte ich, ist die oben bezeichnete Function f {yiyzy^y^ gefunden; denn da alle Strahlen 

 des Büschels a) durcli einen gemeinsamen Punkt des Kegelschnittes, nändich den Punkt 1) desselben gehen, 

 so ist der zweite Schnittpunkt mit demselben also y, »/j^/syn eindeutig auf t bezogen, und da die Gruppe des 

 Oktaeders und der Gleichung vierten Grades als congnient sich erweisen, so erhellt die Richtigkeit der 

 Behauptung. 



Ich bemerke aber ferner, dass durch a) gleichzeitig das Oktaeder in der Normalform gegeben ist, denn 

 setzt man in a) für y^y^y^y^ successive die Coordinaten der sechs F'-Punkte des vorigen Paragraphen, so 

 erhält man für ^ die Werthe 



0, 00, t, — i, -1-1, — 1, 



also in der That die sechs F-Punkte des Oktaeders. 



