06 Antov l'uckta. 



sei, ist crlorderlich, dass 



«y 1 -*- y's + «>a -t- y» = - (''2/2 -*- y, + «>» -^ yO 



sei, oder 



(1 -t- (2/, -H^jH- (/3+»/0 = 0, 



was j;i in der Tiint ziitiiffl, da Sy ^0 ist. Ans dieser Gleichung i'£ = 2341 folgen diinu sofort dnreli Wie- 

 derludiing 3) und 4). Um dann 5) zu liewcisen, liat man nur ^tj=:Q und }i;?/^=0 zu beachten, und aus 

 2) und 5) folgen alle übrigen durch Multiplikation, denn man hat z. B., da 6) und 7) nur Potenzen von 5) 

 sind, fUr 8), und zwar für die linke Seite zunächst, das Product von den drei Substitutionen 



wobei ich immer mit der Substitution links beginne, denn dann ist 



Andererseits macht das Product von (4123), (4312), (2341) aus 1234, zunächst (3241), (2341) oder 

 2413, was zu beweisen war. Ebenso überzeugt man sich von der Richtigkeit aller übrigen Gleichungen. 

 Übrigens kann man auch durch geometrische Betrachtungen sofort die gegenseitige Abhängigkeit der beiden 

 Substitutionsgruppen angeben, den löst man z. B. drei beliebige der Gleichungen 1) bis 7) nach y, ,'/j ys //,, 

 auf, so findet mau bei geeigneter Wahl des constanten Proportionalitätsfactors, in homogener Schreibweise: 



^6 



2/4 = -Ä(^+(i-'Jt^.?«^-^'^D, 



1^6 



d. h. die y werden geradezu die oben im ersten und zweiten Abschnitte mit y bezeichneten vier Würfel- 

 diagonalen, und jetzt kann man leicht angeben, welche Oktaedersnbstitution gefunden wird, wenn man auf 

 die rechte Seite von a) z. B. die Substitution (123) anwendet, denn hiebei bleibt »/^ fest, also muss ? so trans- 

 formirt werden, dass das festbleibende Punktepaar durch 



?j-+-(i-Ot,?i-H»t| = o 



bestimmt ist u. s. w. 



§. 4. Fortsetzung. 



In Folge der Gleichungen ß) ist man nun auch im Stande, die früher auf einem anderen Wege gefun- 

 dene Covariantenrelation zwischen F', H' und T' direct aus der zwischen F, II und T geltenden herzuleiten. 

 Man erhält nämlich hicfür zunächst folgendes System von Gleichungen: 



y3H-y,=4^_£.?„ 



