über eine Classe von Abel '^chen Gleichungen. 37 5 



aber/j(x) als irreducibel voraussetzt, so muss man im Falle zweier zusaramenfalleuden Wurzeln der Glei 

 cliung 2) nothweudig schliessen, dass diese mindestens noch ein Paar zusammenfallender Wurzeln haben 

 müsse, dass also die Relationen stattfinden: 



Jzip) fzV)- 



7t 



Ich will nun zeigen, dass unter dieser Voraussetzung die Gleichung 2) - Paare zusammenfallender Wur- 



zeln habe, und zwar in folgender Weise. Es Lässt sich bekanntlich jede rationale Function einer Wurzel vnn 

 irgend einer Gleichung als ganze Function derselben Wurzel vom Grade n — 1 darstellen. Sei diese Function 

 mit <]> bezeichnet, so wird unter der erwähnten Voraussetzung die Gleicliung bestehen 



<I» («) — <I> ih) = 0. 

 Setzt man in diese Gleichung x statt a, so erhält man eine Gleichung, die eine Wurzel mit der Gleichung 



.A(^)_Q 



X — h 

 gemeinschaftlich hat und durch Elimination von x aus diesen Gleicluingen eine Gleichung 



rr = 0(S), 

 wo t) eine rationale Function ist. Da man ebenso x aus den Gleichungen 



x — a 

 <D(a;) — (l)(rt) = 



eliminiren kann, so erhält man auf dieselbe Weise 



l = (-> (a). 



Wir lernen demnach daraus, dass im Falle 



./3(«) M') 



oder, was dasselbe ist, im Falle zweier zusammenfallenden Wurzeln der Gleichung 2) die Wurzeln a und h 

 in der Beziehung zu einander stehen, dass die eine rational durch die andere ausdrUckbar ist. Wenn nun /j 

 als irreducibel vorausgesetzt wird, so schliesst man nach Abel, dass die Wurzeln von /, = sich so in Paare 

 gruppireu, dass eine Wurzel jedes Paares eine rationale Function der anderen Wurzel desselben Paares ist. 



Die Auflösung der Gleichung /j = reducirt sich also auf die Lösung der Gleichung 2) vom Grade ^^ und auf 



die der -^ quadratischen Gleichungen. Dieses Kesultat werden wir kurz so aussprechen: 



Satz. 



Wenn /, (a;) irreducibel ist und wenn es möglich ist, zwei ganze Functionen f\ undyj so zu bestimmen, 

 dass 



ist, so ist die Gleichung /, = eine i^bersche, d. h. .sie hat die Form 



i\ (ic) = {x — a){x — (■)(«)) [x — b) (x — fc>(6j) . . .{x — <S){x — t)(c)) = 0. 



