tJber eine Clause von Abel' scheu Gleichungen. 37 7 



§. 2. 

 Die GleicLuugen 1), 2) und 3) im vovig-en Abschnitte lassen sieh geometiisoh iateipretiren. ' Bekanntlich 



lässt sich jede Curve vom Geschleelite j> ^ 0, d. h. jede Cime mit ^^ ~ Doppcl- und Rückkehr- 



punkten durch eindeutige Transformation auf die Form 



bringen, wo f\, f-i, f-^ ganze homogene Functionen ?(ter Ordnung von X und /;. sind. Dass umgekehrt die 

 Curve 1) vom Geschlechte p = ist, kann man folgendermassen leicht einsehen. Sehen wir nämlich Ä, /j., v 

 als Coordinaten eines Punktes der trausformirten Curve an, so können wir die x als Functionen von 1, fx und 

 V betrachten, bei welchen v = ist; es ist also dieses die Gleichung der transformirten Curve, d. h. dieselbe 

 ist eine Gerade, bei welcher p^O ist. Da nun die eindeutige Transformation das Geschlecht der Curve nicht 

 ändert, so folgt daraus, dass die Curve 1) vom Geschlechte ^^ = ist. Die Gleichung der Curve 1 ) erhält man 

 bekanntlich durcli Elimination von Ä, p. aus dem Systeme 



«'i./'i -^ ^'2/2 -f- ^if-i = *' • 

 Diese Kesultante culhält die Grössen «, v nur in den Verbindungen 



und ist eine Form wten Grades der letztern. Ersetzt man dieselben durch /', , /j, /!j, so entsteht die Gleichung 

 wten Grades 



welche die Gleichung der Cur\e ist. — Die Resultante 2) in §. 1 wird offenbar auch aus den Gleichungen 



erhalten, daraus folgt, dass sie auch aus der Resultante ^(/i./j/s) = erhalten \\ird, wenn man in ihr 

 /, =0 setzt. 



Der Ausdruck, den man erhält, wenn man in der Gleichung einer Curve eine trimetrische Coordinate 

 gleich Null setzt, stellt bekanntlich die Verbindungslinien der dieser Coordinate gegenüberliegenden Ecke des 

 Fundamentaldreiecks mit den Punkten, in denen diese Coordinate die Curve schneidet, dar; und da die Resul- 

 tante 2) in §. 1 der restliche Ausdruck von Pifyf^f^ ist, wenn man in dieser /', = setzt, so stellt sie eben 

 die Verbindungslinien des Punktes yj^O,yjj = mit den Punkten, in welchen F(/\f^f^)=^0 die Seite /',^0 

 schneidet. Setzt mau in der Resultante 2) in §. 1 X ==/2 :f^, so besteht sie offenbar aus den Producten der 

 Gleichungen 3) in §. 1 , folglich stellt jede dieser Gleichungen eine solche Verbindungslinie dar. Nun ist 

 bekannt, dass für einen Doppelpunkt der Curve F(f\f^ f\) = die Gleichungen bestehen: 



./;w = ¥.(>') 

 ./; (Ä) = kf, (X') , 



' Man vergl. Salmou, Geoinvtiii' clor hölieren eliencn f'iuven, p. 3.5; ferner Clebsch, Über diejeuigcn ebenen (Kur- 

 ven, (leren Coordinaten nitionalo Fiiuetionen eines Taranicters sind. Crelle'.s .Journal, Bd. G3 und Tlieorie der Abel'sclien 

 Functionen von Cleliscii um) Gordau, p. 07. 



Dcnksciu'iriuii der maüiutii.-iialurw. Cl. XLV.Ud. Al>h;uidUingeri von Niclitiiiilirlievlürn. vv 



