378 B. Igel. 



folglich bedeuteu die Glcicliungcn 



dass ein Doppelpunkt der Curve auf der Seite ic, = liegt. Der Satz in §. 1 kann jetzt folgendermassen aus- 

 gesprochen werden : 



Satz. 



Wenn /j (A) irreducibel ist und ein Doppelpunkt der Curve auf der Seite u^, = liegt, so sind alle 

 Durchsehnittspunkte dieser Seite mit der Curve Doppelpunkte. 



Bildet man die Resultante 



von den Gleichungen 



f^{x) =U 



,/i(^)-t-\/3(^-) = «', 



SO kann man fragen, ob es möglich sei, dass sie ebenfalls ein vollständiges Quadrat ist, wenn -^^ !/i > /2 "•" {/s ! 

 ein solches ist. Vom algebraischen Standpunkte betrachtet, könnte es möglich scheinen, während die geome- 

 trische Anschauung darauf führt, dass es wenigstens für n = 4 im Allgemeinen unmöglich ist, weil , da die 

 Curve vierter Ordnung nur drei Doppelpunkte haben kann, es nicht möglich ist, dass auf der Seite x^^O 

 noch zwei Doppelpunkte liegen. Wir wollen es nun auch algebraisch zeigen. Gesetzt, die beiden Resultanten 

 wären vollständige Quadrate, so würden folgende Gleichungen bestehen : 



A(«)/3(/)-/2(/),/3(«) = 



/,(«)/3a')-/,(t)/3W==o 



^.(c)/3(b)-/i(b)/3(c) = 



/;(8)/3G))-/,Gi)/3(9) = o 



oder, wenn man die Gleichungen nach den Coefficienten von /], entwickelt, die iblgenden: 



c« \A («) f> " -Ai^ ) "1 -^ ^1 \A («) 6"-' —A (b) «"- ' I -^ + '^'^ !,/2 («) —A ( * ) ! = ö 



^0 \fi (0 ^" -A (d) c "\ + c, [f, {c)d"-' -f, {d)c>-' S + + c„ {/, (c) -./, {d) j = 

 ^oly;(0/"-/a(/)^1 + cj./, (e)/"-' -/•(/>"-' K + c„ j/^(,)_/;(/)S =0 



^ol/,(Ob''-/,(b)c"S+cj/;(c)b«-'-/;(t))c''-'S-t--f-c„!/,(c)-/,(b)|=o, 



d. h. man würde dann im Allgemeinen eine hinreichende Anzahl von Gleichungen haben, um die Cocfticientcn 

 von/, zu bestimmen, durch die Wurzeln von/j und/^, so dass /j eine ganz bestimmte, im Allgemeinen nicht 

 rationale Function sein wird. 



§. 3. 



Der soeben gegebene Beweis wird illusorisch, wenn das System von Gleichungen nicht von einander 

 unabhängig ist. In einem solchen Falle könnten möglicherweise alle drei Resultanten 



^ {A , /« + Vs 1 ' i^ \A > A + '^A, \ , ülAs, A + ¥z \ 



