über eine Classe ^,'o?^ AheV sehen Gleichungen. 37^ 



vollständige Quiidrate sein. In der That tritt ein soleher Fall ein, wenn verschiedenen Werthen von /:^ 

 nicht verschiedene Punkte der Curve F{f\f^f^ = entsprechen, sondern zu jedem Punkte der Curve meh- 

 rere Werthe jenes Verhältnisses gehören. Dieser Fall ' wird bekanntlich dadurch charakterisirt, dass die 

 Gleichungen 



/, (}p-)AQ'i^') -fx (^>')./3 Q'V) = 



/, (X /x)./- (// ,a') — /• (X' /a')./3 (A ,<x) = 



den grösstcn gemeinschaftlichen Divisor ^'C''!^; '''\>^) haben. Das Gleichungssystem in §. 2 sagt in diesem 

 Falle nichts Neues und ist eine Folge dieser drei Gleichungen, welche für alle Xfjt, 'i' \i! bestehen, die durch 

 die Gleichung ■-f-IÄij., X'|ui.') = verknüpft sind. Xuii ist aber bekannt, dass sich stets eine rationale Function 

 von Ä : \x so herstellen lasse, dass deren Werthe und die Puukte der Curve sich gegenseitig eindeutig entspre- 

 chen. Nehmen wir nun au, dass diese Function der Quotient u:v sei, wo u und v zwei Functionen Trten 

 Grades von 'k:\). bedeuten, so lassen sich die Coordinaten des zum Werthpaare \:\). gehörigen Curvenpunktes 

 als Formen y, -^j y , etwa pten Grades von uv darstellen, und es wird 



y {uv) = kf\ 



y{uv) = kf\ 

 wo ■/. von Ä/x unabhängig ist. Durch Elimination von uv aus dem Systeme 



erhält man eine Gleichung iten Grades 



Von dieser Form G beweist Pasch ^, dass sie irreducibel ist und dass G(f\f^f.^)~ = F'(f^f,^f^) , wenn 

 ,-T>l ist. 



Da wir nun schon wissen, dass die drei Resultanten 



aus der Form F^/j/^/jjl entstehen, wenn in derselben resp. /|, f^ ""d /'^ gleicii Null setzt, so fcilgt daraus, 

 dass, wenn r gleich zwei ist, alle drei Resultanten vollständige Quadrate sind. Es bestehen demnach fol- 

 gende Gleichungssysteme 



■Ai^) = KfAb) 

 \A(.<^) = KAiß) 



\t\{h) = kj,{i) 



\A{^) = KAQ>) 



./; («) = KA {?>) 

 \fdi)=hA{'^) 



fx (■'•') = hA <>■) 



1 Verg-l. Lüiotli, Mathematische Aimalcii, Bd. IX, p. ic:i, und Pasch, ebendas. Bd. XVI, p. Ol. 



2 L. e. 



