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Dies bedeutet nach §. 1 nidits Auderes, als dass die Wurzeln jeder der drei Gleicliungen f\ = 0, f\ = 0, 



n 



/j^O in Paare sich so vertheilen lassen, dass die Wurzel eines jeden Paares sich rational durch die andere 

 desselben Paares ausdrücken lässt. Wir können demnach iblg-euden Satz aussprechen: 



Satz. 

 Wenn die Functionen f^j\f-,^ in dem Zusammenhange stehen, dass die Gleichungen 



/i Klv^.f\^>''A — ./; (>''/^-')./2 Q^v-) == 



./; (>' [>).f-, (^' 1^') -./; Q' !^').fs (^ f^) = 



den grössten gemeinschaftlichen Divisor ■•P(aij.] ä',u.') vom zweiten Grade haben, so sind die Gleichungen 

 /, = 0, /2 = 0, /!j = Abel'sche, d. h. es ist 



/j (x) = (x - f, ) (x - (^, ))...{x- Q (x - iL)) 

 f\ ix) = {x — ^^'){x- — (-) (t, '))... {x- Q {x — Q [Q) 

 i\ {x) = (x - t, ") (.r — (-) ( c, " . . . (.r — tr;:) (x - iO) ■ 



Bemerkenswerth ist dieser Fall noch dadurch, dass die rationale Function (■)(£) i'ür alle drei Gleichungen 

 dieselbe ist. Erinnert mau sich an die Bildung von 0(^), so folgt leicht folgende Relation: 



'"l/i-i-f'if" 



X k) 



wo A eine unbestimmte Grösse bedeutet. 



§■4. 

 Es sollen jetzt folgende Sätze bewiesen werden : 



Satz 1. 

 Sind die drei Gleichungen 



y; = o, /, = o, f, = Q 



von der im Satze §. 3 auseinandergesetzten Beschaffenheit, so lassen sich die Wurzeln einer jeden von 

 ilinen rational durch die Wurzel einer jeden anderen ausdrücken. 



Satz 2. 



Unter derselben Voraussetzung lassen sich die Wurzeln jeder Gleichung durch irgend eine derselben 

 als rationale Functionen ausdrücken, und zwar in der Weise, dass, wenn mau irgend zwei solche ratio- 

 nale Functionen mit 9 und (-1, bezeichnet, die Relation besteht : 



(-J Hj = Wj y . 

 Es bestehen nämlich in diesem Falle folgende Gleichungen: 



= ^0 \A & ^"' -A (^0 4" I + c, \f, i^t) r«-' -f, {t') ^«-' I -f- -H c,. \j\ (t) -f, (t') 1 

 = ''o lU («) * " -A i^ ) "" 1 -^ ^'i \A (» * "-' -A ('' ) «"'"' K + ^" \A (") -A ^^> ) I 



= ^-0 \A i/o *■ " —A (/■ ) ^'1 ^ ^'i 1/2 (^^1 ''"^' —A CO ^'""' j + + c„ {/, (Ä) -/, (Ol 

 = ^0 l/t ('1 ) ^ " -A (.^ ) '^ " S ^- ^1 Ifi «,^1 ) ^' ""' —A (.^' ) n "^' I -^ + ^« l/i (^' ) —A (n ) S 



