Zur Theorie der ans den vierten Einheitswurzeln gebildeten complexeii. Zahlen. 173 



ist, aus welcher Gleichung folgt: 



IM^ l'(il"^)^' { m-+i)+\og n+c+ -Lj + v'fao jc(:/.-)+iog «+C+ ^j (A:> i) 



lA I >/3n - 7:(l-{-L,) kL, 



(/.■=1). 



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Den speciellen Fall k = 1 der Formel 57) hat schon Herr Merteus mitgetheilt. 

 Aus der Formel 57) folgt; 



58) lim„= 



"-°° «'•+' -4(/.+l)^(Ä-+l)L,+, 



/_, y^i-i (a;) 



59) lim^^i^Ü!^- ^(2^-+ 1^ 



8t(2-T/-"-' i;,Loi. 



\f2iix) 

 60) lim i^^li^ - ^"-I^(^^-+l^ 



Mat hat daher das Theorem 



illstJinrlitrpn Tfpatsvstpms für dpn Modul ii. p-iht p« 



/i iv. 



Unter den C41iedern eines vollständigen Restsystems für den Modul u gibt es -y=r- A"(h) Zahlen, welche 



mit ?i keinen gemeinsamen Th eiler haben. 

 Setzt man: 



61) Y,^(cl',)=Kr(x) 



so ist offenbar: 



X,(a-) = fx(g) 

 wenn : 



x-= Q.R 



und R die grösste in a; aufgehende r'e Potenz ist. 

 Es ist also : 



Xix) = 



wenn x einen Primfactor in einer Potenz enthält, deren Exponent nach dem Modul r einer der Zahlen 2, 3, 4, 

 . . ., r — 1 congrueut ist, während in den übrigen Fällen: 



X.^x-) = (-1)" 



ist, wo 5 die Anzahl jener Primzahlen ist, welche in x in der Potenz /.■/■+ 1 enthalten sind. 



Ist speciell r = 2, so hat X,.(x) den Werth +1 oder — 1, je nachdem x aus einer geraden oder ungeraden 

 Anzahl von (verschiedenen oder gleichen) Primzahlen zusammengesetzt ist. 



Aus der Defiuitionsgleichung 61) folgt sofort: 





V Ä,.(aO 



x=(00) ^ ^ j:=(oo) -^ ..-=(00) ^ ' 



