Zur Theorie der Determinaiiten höheren Ranges. 

 Hat man nun n Zaiilen des Gebietes : 



151 



'1 — '^l,! «1+«1,2 *'2+«l,:j «S + ---+«!,« «n 



V, =«, 



•'?2 = *> i ^i+cx. 





-«2,« «n 



^« = «,M «^ t + ««, 2 «^2 + ==«, 3 eg + . . . + a„ „ e,j 



welche so beschaffen sind, dass die Determinante; 



-,,y.\ 



It ,)!= t. 



■") 



ni Null verschieden ist, so kann man die ursprünglichen Einlieiten und daher jede Zahl des Gebietes, also 



auch die Producte -^ix-n., linear durch die Zahlen r,^ ausdrücken. 



Existivt nun in dem betrachteten Zahlensysteme die Quadratwurzel aus — Sj, so kann man stets n — 2 

 Zahlen v;., , vj.j, ..., y;„ von der BescliatTenlieit angeben, dass die eben erwähnte Determinante von Null ver- 

 schieden ist, wenn : 



'1 



H> ■^■> = \' 



/: 



•i' 



gesetzt wird, weil zwischen £j und \/ — s^ keine lineare Relation besteht. 



Man hat daher für die eben genannten ii Zahlen des Gebietes die Gleichungen: 



''a '",;. = (^ /-"•) 1 ■" 1 + (/^j ,'-'•^2 ■''2 + ' /^j l'-h ■n-i+ ...+ {l, !J.)„ -n,, , 

 wo die aus einer unbenannten Haupteiuheit gebildeten Grössen (X, iJ.\ den Relationen , 



4) (^, ^)v = {!h ^)v 



5) 



^ (X, (a\ (v, p), = y (X, p)^ (r, y.). 



(l,lj.,p,a= 1,2,..., n) 



genügen müssen, damit die Multiplication eommutativ und associativ ist. 

 Setzt man in dem Gleichungssysteme 5) : 



X = /. = 2, 

 und berücksichtigt, dass : 



(2,2)p = (p>l) 

 (2,2)i = -c 



wo £ der Modul der Multiplication in den aus einer Haupteinheit gebildeten Zahlensysteme ist, welchem die 

 Zahlen (k, f«.)^ angehören, so erhält man : 



oder wegen 4) : 



-(l,p),= V(2,p),(r,2), (p,a=l,2,...,n) 

 r=l 



-(1,P).= 2^(2,p)r(2,r), (p,a = 1,2,3,...,«) 



Man hat daher die Relation : 



7=1 



(2, P\ (2, r). 



= |-ap)a| 



(p,a=l,2,3,...,n) 



