148 



für; 



für; 



Jjeopold Gegenhalter. 



hl Hl Ht 



= « 



'l)*2l«3> 



•a.i 



7>(2i^-l) —4^-^— ff 



a 





1) 



Nun besteht, wie ich gezeigt habe („ Über üeterminanten höheren Ranges". Denkschr. der kais. Akad. 

 der Wissensch., mathem.-naturw. CL, 43. Bd., II. Abth., p. 17 ff.) folgendes Theorem: 



Wenn für rj feste Indices alle Elemente einer Determinante ??ter Ordnung und mten Ranges, in denen 

 irgend einer der anderen Indices einen von n — rj gegebenen Werthen besitzt, gleich Null sind, so zerfällt die 

 Determinante in das Product zweier Determinanten ;);ten Ranges Ton den Ordnungen r^ und n — )\. 



Die erste von diesen Determinanten wird aus jenen Elementen der ursprünglichen Determinante gebildet, 

 in denen die festen Indices mit den eben angeführten r^ Zahlen zusammenfallen, die übrigen Indices aber 

 jene /j Werthe aus der Reihe der Zahlen ],...,« besitzen, welche unter den gegebenen n — r, Zahlen nicht 

 enthalten sind; die Elemente der zweiten Determinante hingegen erhält man, wenn man aus den ursprüng- 

 lichen Elementen jene auswählt, in denen die veränderlichen Indices die gegebenen «— rj Werthe besitzen, 

 und die festen Indices mit denjenigen Zahlen der Reihe 1, 2, ...,w zusammenfallen, welche von den erwähnten 

 rj Zahlen verschieden sind. Das Product der so erhaltenen Determinanten ist mit dem positiven oder nega- 

 tiven Vorzeichen zu versehen, je nachdem das Product ihrer Hauptdiagonalglieder in der ursprünglichen 

 Determinante positiv oder negativ ist. 



Es ist also : 



3) 



I '1 I '2J Hl--'! ^-ip I 



, nin — 1) , 

 4 '^ ' \a 



Hi3-l^H, 



jJip 



a.-, 



•2m— j,-+-l,J.2,J3,...,j2p| 



— a 



n ->rji , n-hjo , «+J3 . • • V «+J2 



+ 



Man hat daher den Satz : 

 Genügen die Elemente «,■ ;^ 



"•""«— ii-t-l, n-i-J2,n-+-JBr--, n+hp I 



{h , H ,H,--, Hp='^j 2, 3, . . ,-2»i; i] , iä ,i3 > • • ■ J-2p= 1 , 2, 3,. . ., w) . 



5 '3) 



a 



, I-, 



'l)»2>''3v 



den Bedingimgen 

 a 



<n '2! 'S)--*; 'ä; 



= «; 



SO ist: 



einer Determinante gerader Ordnung und geraden Ranges: 



■■'*'^'('l,'2-»3)---;'2p=l)2,3,...,-2«) 



-1 , 2h— i'p.-l-l,/|jL+i, if,.+2,-.-,i-,-i, 2n— Jv-Hl, Jv+i , jv-)-2,..., i.,p 



{ij,i.^,ig,...,Uy=l,2,3,...,2n-,n^v-, (A, v=l,-2, 3,...,-2i)) 



'] 1 '2) '3i---! '2p I 



=4«'^-^>!« 



Jt jJ-2lJi>---!.l-2p 



(I.-. 



■i"—Ji+i,:i-iJa>---Jji. I 



""-hij W'+J2> "-H/3)---) "+J-2p'^ 



ii—ji-hi,ii-i-j.^,n+j3,..., n-i-j2p I 



('1; '2,'B'---,^2p= li 2, 3,...,2irJi,J2>.h<-- 'J-2p= 1, 2, 8,... 



Nach diesem Satze besteht z. B. für die folgende quadratische Determinante die Relation: 



X, y , M, v , r, s, t, w 



y, X, V, u , s, r , w, t 



u, V , X, y , t, w, r, s 



. V, u, y, X , ic,t, s, r 



i r, s , t, w, X, y , u, v 



s, r , w,t , tj, X, V, tc 



t, w, r, s , t(, V , X, y 



w, t , s, r , V, II , y, X 



n) 



x+iv, y + t , u+s , v+r 



ij + i , x + w, V +r , u+s 

 ii + s. r+r, 

 v+r, u + s, 



x+w, y + f 

 y+t , x+ir 



X — w, y — t , u — s , V — r 

 y — t , x — w, V — r, !', — s 

 u—s , r — r, x—w, y — t 

 V — r, u — s, y — t, X — w 



