Zur TJieone der Determinanten höheren Ranges. 



149 



Da die beiden Determinanten auf der rechten Seite dieser Gleichung abermals den Bedingungen des auf- 

 gestellten Theorems genügen, so kann jede von ihnen wieder als ein Product von zwei Determinanten zweiter 

 Ordnung dargestellt werden, und daher ist ferner: 



A= 



x+w + u + r, y-hf + u+s 



x+w — » — r, y + t — u — .s 

 ij + t — u — .V, ,»•+?(• — r — ;■ 



:v — iv+v — r, y — t + u — s 

 y — t+u~ü, x—w + v — r 



x—w — v + r. y — t — ?<+s 

 // — f — «<+.s-. ,T — w — r + r 



welche Relation sofort in die folgende von Herrn A. Piichta angegebene Gleichung („Ein Determinanteusatz 

 und seine Umkehrung". Von A. Puchta. Denkschr. der k. Akad. der ^Visseusch. , mathem.-naturw. Classe, 

 38 Bd., IL Abth., p. 225 ff.) : 



A = {x+y + u + v-\-w + r+s + t){x+v-^w+r—y — t — u — s) (x+w + y+i—u — v—r—s). 

 . (x ■+- IC + V+ s — y— r — v — i)(x — w + f —r+ y — t + li — s) (jv — w + v — r- — y + 1 — ii + s) . 

 . (x — w — i) + r+y — t — u+s){x—w — v + r — y + 1 + a — s) 

 übergellt. 



Ist in der Determinante 1): 



n = 2«j, 



und genUg'en die Elemente a,- ,• ,• ,■ nicht nur den Relationen 2), sondern auch den Gleichungen: 



^'/],f., ii....,iop f'Vj,)'.,,)3,...,v-l, Shi— iVH-I. 'V+'- (V+2,.-'-*'v-i, 2»,— (v+l, /,+1, i,+i,..., i.^^, 



'*('j,/2,!3,->'V—''-"l+'V+l''V+* ''!'■+*'•••, »2^ ''X,,/2,i3v--,'V-'''i''l"~':J-+l-''!' + fr'V+2r---i'''-li2"i— 'v-l-l,''-+l. ('-,+2...., «2,, 



{i^,ü,i^,...,i^-l,i^,+^,...,l,-l,h+^,...,i.,^,= l,•>,^i,...,^n^\ iV, !v = l, 2, 3,..., Shi-, (a^v; ;/. , v= 1, 2, 3,..., 2^)), 



so erfüllen ersichtlich die Elemente der beiden, auf der rechten Seite der Gleichung 3) stehenden Determi- 

 nanten die Bedingungen des abgeleiteten Theorems und man hat dalier in diesem Falle die Gleichung: 



'^"'Jl,i2'Jil---J2p-l:~>'+Jip—2Jij,\- 



■ I ^ «i+i, . n^-i-j.. . n ,+/, , . . . , «i-f-i.j, "n ,-hii , «,+i>. "i+ia ; • • ■ ^ n+Jip^'> ^ 3«i— j.j^_2+l, »fj-t-jo^, "^ 



• I — «2hi-4-j,, 2»i+i2, 2n,H-,/3,. .., 2»i-h?o^, +« 2«,-t-i,, 2Hj+J,,. 2''i+i3,-- •, -"i+i^i--! > 2«,— j.^,-!-! — 

 — «2«i+ii,2«,-hior-2«i+j3----,2»i-^J2p_2.?ii.-i+^i'>."^"-«i+i,,2H,+J2. 2«i-+-./3 .iip i+l-2",-i2/,+ l r 



• I "-^tti-hj, , ■Aiii-hji. ■dn^+j^....,-in,-{-j.,p ^'3"i+ii • 3"i4-J2, ;^».j+/3,..., 'iih-i-j.,j, , , 3»i— jo^+l 



"Siii-i-ji, ■3«i+J->,3hi+J3,...,3h,+J2^_ ,,3»,— j2^,-(-l "'"'^'3»,-h;,,3»,-f-J2,3j(j+j"3,...,3«,-(-j.2^_,,J2;. I 



{'■1 , »2; '3' • • • ' »V = 1 , 2, 3, . . . , 4»j ; ./, .ia, J3, . . . ,j-sj, = 1 . 2, 3, ...,»,) . 



Man sieht sofort^ dass sieh anl' dem eben eingeschlagenen Wege das folgende allgemeine Theorem 

 ableiten lässt: 



Genügen alle Partialsysteme, welche aus den Elementen a, ,■ ,• ^^ einer Determinante geraden Rang 

 von der Ordnung 2^n: 



a, 



*1 1 ' 2 > '3 ) 



"■■■'* ' (^,,^2,'3v••,'2^=2>■«) 



dadurch abgeleitet werden, dass die Indices /j ,?'.,, 73,..., /j j,._)_i, '^+.2,---) '■>— u 'v-t-i> 'v+2»---' '2» ^^'^ 



•■zj> 



Werthe 1, 2, 3,..., 2'« erhalten, während jeder der beiden Indices i^, i,^ irgend eines der 2'^ ' Werthsysteme: 



1, 2, 3,...,2'«;2''«4-l, 2'«-4-2, 2'm + 3,..., 2'+!«; 2'+i «-4-1, 2''+' «-^-2, 2'-*-'« + 3,..., 3.2'«;...; 



(2'— '— l)2'«-^-l,^2■'— '— r)2''«-4-2, (2'— <^— l):iSi + 3,..., 2Si 



