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durchläuft, iler Bedingung : 



wo p., und V, die grössten Wertlie von / und i^ in dem von diesen Grössen durchlaufenen Intervalle sind, fU 



5 _ j^ l 1 X 2 ..., A — p und /ji, v = 1, 2, 3,..., 2^}, so lässt sich die Determinante als ein Product von 2P+i 



Determinanten desselben Ranges von der Ordnung 2^— P— '« darstellen, deren Elemente lineare Functionen 

 von ie 2P+' in leicht bestimmbarer Weise mit dem positiven oder negativen Vorzeichen versehenen Elementen 

 der ursprünglicheu Determinante sind. 

 Ist speciell: 



W=: 1, 



so kann die Determinante geraden Ranges von der Ordnung 2^; 



als Product von 2^ Factoren dargestellt werden, von denen jeder die Summe aller verschiedenen, in geeig 

 neter Weise mit dem positiven oder negativen Vorzeichen versehenen Elementen der Determinante ist, und 

 dem Zahlenfa'ctor 40^—1)^'^'. Man sieht sofort, dass einer der Factoren die Summe aller verschiedenen Ele- 

 mente ist während in allen übrigen Factoren die Hälfte der Elemente das positive, und die andere Hälfte 

 das negative Vorzeichen besitzt. Für quadratische Determinanten hat diesen speciellen Fall Herr A. Puchta 

 a. a. 0. abgeleitet. 



Ich will bei dieser Gelegenheit einen neuen einfachen Beweis eines von Herrn K. Weierstrass herrüh- 

 renden Satzes über höhere complexe Zahlen mittheilen. 



Über die n Haupteinheiten ei,e^,e-^, ■,&„, aus denen die erwähnten complexen Zahlen gebildet sind, 

 werden folgende Voraussetzungen gemacht: 



1. Die Einheiten sind von einander linear unabhängig, so dass also eine Gleichung von der Form: 



«1^1 -)-a.2e.2-(-«3e3-4-..-+«„e„ = 

 nur bestehen bann, wenn alle Zahlen «^ (X = 1, 2, 3, . . . , w) den Werth haben. 



2. Die Multiplication der Einheiten ist commutativ, associativ und distributiv. 



3. Die für die Einheiten bestehenden Multiplicationsgesetze sind so beschaffen, dass die Division im 

 Allgemeinen ausführbar ist. 



Das System soll selbstverständlich ein begrenztes complexes Zahlensystem in der Weise sein, dass die 

 Producte der Einheiten sich wieder linear durch die Einheiten selbst darstellen lassen. 



Für die Zahlen dieses Gebietes sind bekanntlich die Addition und Multiplication commutativ, associativ 

 und distributiv, es existirt ferner in diesem Zahlensysteme ein Modul der Multiplication Sj, d. h. eine Zahl, 

 welche jede andere ungeändert lässt, wenn sie mit ilir multiplicirt wird. In einem solchen Zahlensysteme 

 existiii nun aber, wie Herr K. Weierstrass gezeigt iiat, die Quadratwurzel aus — i^ nicht, wenn die Anzahl 

 n der Haupteinheiten ungerade ist. 



Bekanntlich lässt sieb jede aus n Haupteiniieiten e^jß^^^e.^,. .,e„ den entgegengesetzten Einheiten und 

 den genauen Theilen derselben gebildete complexe Zahl auf die Form: 



" — ^1 ^1 + «2 ^-J + =«3 63 + ■ • • + "11 ^H 



bringen, wo die Grössen aj, «.>, «sv, «,, aus einer unbenannten Haupteinheit gebildete Zahlengrössen sind, 

 und a, ß) die Grösse bezeichnet, (]ie man dadurch erhält, dass man e- an Stelle der zur Bildung von a-^ ver- 

 wendeten Einheit setzt. 



