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deren Analogie mit der berühmten Kronecker'schen Productdarstellung des Legendre-Jacobi'schen 

 Symbols unmittelbar in die Augen springt. Dieselbe liefert ebenfalls ohne weitere Rechnung das quadra- 

 tische Reciprocitätsgesetz. 



— j angeben, die sich 



leicht aus jeder der beiden Formeln 6) ableiten lässt. Bezeichnet man mit n„,g„\ n^, g^ die Anzahl der 

 ungeraden, beziehungsweise geraden Reste in 1), welche zu ungeraden, beziehungsweise geraden Multi- 

 plicatoren von ;; gehören, so hat man die Gleichungen 



n„,,i, = n„ + iiy, g,,^,,, = g^+gg 



in — £ in + £ — 2 



U„+g„ = -^— ; gn+gg — 1 



und demnach ist jeder der in dem eben erwähnten Glcichungspaare auftretenden Exponenten von — 1 dem 

 absoluten Betrage nach gleich |^„ — ii.,\. 



Man hat daher, wie man auf Grund der obigen Erörterungen sofort erkennt, die Relation 



©='-•> 



2 iT]-[T-27,]l+ ^^, {t + -]-[t-2-7,+ 2]}. 



*?• 7. 



In diesem Schlussparagraphc will ich das Zeichen des constanten Gliedes im primitiven Factor der 

 Theilungsgleichung der elliptischen Function \/ k sinam (ii, k), dessen absoluten Betrag schon Herr 

 L. Kronecker in seiner meisterhaften Abhandlung >'Zur Theorie der elliptischen Functionen- * bestimmt 

 hat, ermitteln, da die Kenntniss desselben zum Beweise einer Formel über die Vertheilung der Primzahlen 

 nöthig ist, welche ich im dritten Jahrgange der IMonatshefte für Mathematik und Physik veröffentlicht habe. 



Ist 



F,n {X) = I"-" |(.v - v//j smam ( jj, 



wo das Product über alle 'f^C'w) Werthepaare h, h' des Intervalles \...m zu erstrecken ist, deren grösster 

 gemeinsamer Theiler zu ni theilerfremd ist, so ist bekanntlich das über alleTheiler d von n erstreckte Product 



\d\ Fd{x) z=z *„(.v) (n ungerade) 



die Theilungsgleichung von \/^ sinam (u, k) und speciell Fn(x) der primitive Factor derselben. Aus dieser 

 Gleichung folgt sofort 



imd demnach, da 



ist. 



F,.(x) = \^^M 



*» = (-!) 



F„(o) = (-\) \ä\d 



■f(n) 



Ist 



(— 1) |,/|^ 



n =p'\ 



* Sitzungsberichte der l<önigl. preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin vom Jahre 1S86, S. 7Ü1 ff. 



