60 Leopold Gcgcnbaiier, 



rkiit I rtn km 1 i ,. , , , j , , ,, , "' — 1 



Nun stellt aber , beziehungsweise — — die Anzahl der dem Intervalle 1... — ~ — 



angehörigen Werthe von X dar, für welche bei festem ^'f^l^^^ ^ 'j die Differenz 



X ^' . , . X k i 1 



beziehungsweise ■ 



111 n in in 2 2mn 



negativ wird, und daher lässt sich die letzte Gleichung in die folgende, die Reciprocitätseigenschaft des 

 Legendre-Jacobi'schen Symbols unmittelbar in Evidenz setzende Formel transformircn: 



f^) = sign.Hf^-^)f^ + ^-^ + ^)(l^/.^^;l^X^'^) 

 \inj ^ I I Vm nj\in n 2 2mn! \ 2 2 / 



welche im Wesentlichen von Herrn A. Gcnocchi schon im Jahre 1852 in den Abhandlungen der Brüsseler 

 Akademie der Wissenschaften und in den Jahren 1880 und 1885 in den Comptes rendus des Seanccs de 

 l'Academie des Sciences (Paris) abgeleitet wurde. 



Eine analoge, für den Beweis des quadratischen Rcciprocitätsgesetzes nicht minder zweckmässige 

 Umformung kann auch mit der rechten Seite der Gleichung 3) vorgenommen werden. Da nämlich aus der 

 Gleichung 



rfc:l)^l = 2._i 



I VI J 



die Beziehung 



2k— \<.^- ~- <2k 



m. 



oder 



km m 1 _ km 1 



V-2-»+2="<V+2 



km m 1 , km 1 . ^ , , ,■ , , .• 



folgt, welche zeigt, dass zwischen .v- + ö und h -- eine ganze Zahl liegt, so kann man die- 



° ' ° II Zu, 2 11 2 



selbe auch in folgender Weise schreiben : 



rkin 1 -1 rkiii in 



oder wegen der Congruenz 7 a) 



„' rkin in J^-i 



Diese Darstellung des Legendre-Jacobi'schen Zeichens habe ich vor Kurzem * auf anderem Wege 

 abgeleitet und bald darauf"* aus derselben eine Reihe von bcmerkenswerthen Folgerungen gezogen. Nun 



stellt aberT-'^ — + ^1 die Anzahl der Werthepaare k(l^k^—pr—; l^X^ — ;r— ^^ dar, für welche 



[ u 2u 2] V 2 Z J 



in n 2n 2m , 



negativ ist, und daher kann man der letzten Gleichung auch folgende Gestalt geben: 



ms . n /2X— 1 2^— K /, , „ n—\ m — U 



* »Note über das Legend rc-Jaeobi'schc Symbol.« Sitzungsbcr. d. mathcm.-naUirw. Cl. d. Uais. Akad, d.Wissensch. Bd. C, 

 Abth. Ua, S. 855-864. 



** »Über den quadratischen Restchaiaktei-.« A. c. a. 0. S. 1072 — 1087. 



