Arithiiietische Untersuchniigeii. 59 



n—\ 

 oder also ^= — j — genügenden VVerthe entspricht; dieselbe kann natürlich nur dann aultreten, wenn 

 4 



Tj = 1 ist. Nun ist aber 



{n — \)m nt — 1 n — m 



2« "~ ~2 ^ 2n 



und demnach erhält man durch die Vereinigung des in a) gefundenen Resultates mit dem eben aufge- 

 stellten den Satz : 



Die Anzahl der ungeraden \- 1^1^^^ ^ \ unterscheidet sich von der Summe aus ^ 



(■2,v//-| / 111 — 1 \ 



und der Anzahl der geraden f 1 <,r< — - — j um eine gerade Zahl. 



i m ] \ ~ — 2 J 



Dasselbe gilt selbstredend auch v'on den zu den betreffenden grössten ganzen Zahlen gehörigen Resten. 



Berücksichtigt man, dass 



ist, je nachdem Tj=:dzl, so erhält man sowohl unter Zuhilfenahme des in y). als auch des in o) aufge- 

 stellten Satzes aus der Gleichung 2) unmittelbar die Gleichung 



, «^ ,ms "Uni "rl 



fc)ü = (-0 ' ' ' 



welche das quadratische Rcciprocitätsgesetz ausspricht. 



Der erstere Beweis dieses Fundamentaltheorems ist im Wesentlichen der von Herrn Zell er* gegebene, 

 der zweite aber der von Herrn Petersen** mitgetheilte. 



In ähnlicher Weise liefert, wie man unmittelbar erkennt, die Verbindung der zweiten von den Glei- 

 chungen 6) *** mit jedem dieser Theoreme einen Beweis des quadratischen Rcciprocitätsgesetzes. 



2. Nach den Entwicklungen in ß) kann man die Gleichung 2) auch in folgender Form schreiben : 



^ 2 



rlcnt-i rkm in - 



V t r 1 r 1 ) 



oder, da keiner der Reste, welche bei der Division der Zahlen (2k — l)iu durch 2n auftreten, kleiner als 

 — sein kann, und demnach im Exponenten von — 1 stets 



fkin 111 1 ikin in + 1 



ist, 



(fc;«-i fktn ?n-f-H 



rkm 11! 1 i/cin in + 1 1 



W'~2^i\~Ui 2^J 



«—1 



V* r (—1 _ r^' — "'+' i> 



- A\n\ L » 'In \\ 



ml 



k = 1 



welche Relation, falls in der zweiten Summe im Exponenten von — 1 k durch — k ersetzt wird, in 



die folgende übergeht 



V^ jr*m-| _rin _''2!^ _ I l. 



* Monatsberichte der königl. preussischcn .Vkadcmic der Wissenschaften in Berlin, 1872. 

 ** American Journal of Mathcmatics, Vol. II. 

 *"* Einen anderen auf der verallgemeinerten Stern'.schen Bestimmung des Legend re-Jacobi'scheii Symbols beruhenden 

 Beweis des quadratischen Reciprocitätsgesctzes werde ich im vierten Jahrgange der Monatshefte für Mathematik und Physik von 

 G. v. Escherich und E. Weyr mittheilen. 



8» 



