58 Leopold Gegenbauer, 



sein, aus welcher Beziehung folgt 



l n \ [ 1! \ 



Es lässt sich daher jedem ungeraden \^' ] (\ ^x^ — ^- ^ ein ganz bestimmtes gerades 



r — — I f\ ^k^ ] zuordnen, für welches der zugehörige (gerade) Rest kleiner als m ist, und umgekehrt. 



y) Aus der Relation 



r(M+l — 2k)m-i_ r2km in-, 



[ n \~~ l 1/ 11 \ 



n , ■ r2kii!-i , i(w+l — 2k)m 1 ,,',,,,.,■ 1 .11 ■ 1 . ■ 11 



folgt, dass — und — nach dem Modul J einander congruent smd, oder nicht, je nachdem 



r2j)'«/ 1 r2yin un |0 



L » J In n\ \\ 



ist, oder, was dasselbe besagt, je nachdem in der Gleichung 9) s'^ni ist (s = n7 kann bei ungeradem ni 

 offenbar nicht vorkommen). Auf Grund des in ß) gewonnenen Resultates kann man daher den Satz aus- 

 sprechen : 



r2xr!-\/. _ ^m — 1\ . , , • , r2Ä'"h/, ^, ^^"^^ 

 Es lässt sich jedem ungeraden ^^— n^,r^ — ^— j em ungerades und em gerades l^A'^U-j 



" r2km^ 

 zuordnen, und es ist überdies die eine Hälfte der noch übrigen gerade, die andere ungerade, ausser 



n -4- 1 

 wenn eine ganze Zahl, also n:=z — 1 ist, in welchem Falle diesem Werthe von k weder ein ,r, noch 



ein anderes k entspricht. 



Dasselbe gilt selbstverständlich auch von den Resten, welche bei der Division der Producte 3; durch 

 m und der Zahlen 



2.ni, 4.7;/, 6.m,. . ., [9J 



- m 



durch n auftreten. 



Für den ausgeschlossenen Werth \-on k hat man 



r2km-\ m — 1 2km r2km , nt+n 



I "^J ~ ~'2r ' ^! [~T \ "~ ■ '2~ 



welche zwei Zahlen nur für 



nt z^ — 1 (mod. 4) 

 ungerade sind. • 



5) Aus der Beziehung 



/Ikni-, , \(n — 1 — 2k) ni-, . r^ . , ,-,,r,,r.- , ^-j 



ergibt sich, dass und \- 4 — in Beziehung auf den Modul 2 einander congruent sind, 



L " J I « J 



oder nicht, je nachdem 



r2k]]i ni, _ i2kiiii lO 



in 7; J ~ I 7/ .1 '1 



ist, oder, was dasselbe besagt, je nachdem in der Gleichung 8) z'^in ist. {z^nt kann auch in diesem 

 Falle nicht vorkommen.) 



Von der durch die Gleichung 10) vermittelten paarweisen Zuordnung ist nur diejenige von den ganzen 



[2km 1 

 ausgeschlossen, welche dem der Gleichung , 



u — \—2k — 2k 



