Arithmetische Untersnchnngen. 57 



1. Es mögen nun einige auf die im Exponenten von r in der Gleichung '1) auftretenden grössten 

 ganzen Zahlen bezüghche Sätze abgeleitet werden, durch deren Verbindung mit den obigen Erörterungen 

 sich sofort Beweise des quadratischen Reciprocitätsgesetzes ergeben. 



a) Ist ii!<:ii und |^^^ — 1 gleich einer geraden Zahl 2k, so besteht die Ungleichung 

 2^^ 2^ < 2Ä^ + 1 (1 ^ .rg^'^; l^k^'^) 



in 



oder 



km 111 _ km 

 1 >- ,r > — 



11 In 11 



kill 1H kill 



welche zeigt, dass zwischen h ., und — eine ganze Zahl liegt, so dass also 



;/ Ml 11 



rkui 111 1 vklll I 



\Ti^2iiMn\-^' 

 ist. Dies kann aber, wie man sofort sieht, nur dann der Fall sein, wenn 



ist, woraus folgt 



Es entspricht demnach jedem geraden |^^^ — j fl^-v^ — - — i ein ganz bestimmtes ungerades 

 \- — (1^^^ — 9 -^j ' füf welche der zugehörige (ungerade) Rest grösser als ;/ — )/; ist, und umgekehrt. 



ß) Ist m<in und \— — 1 gleich einer ungeraden Zahl 2k — 1 /'l<.v< — - — ; l<>t< — :;— | , so ist 

 I ;;/ J ' " ; ~ 2 l ) 



2x11 



2k— \ < <2k 



in 



oder 



km 11! km 



n 2ii n 



so dass also zwischen ,- und eme ganze Zahl hegt, und demnach 



11 In 11 " . 



rknii rkm 111 -1 



L 7/ J "~ L ?z 2h J 



wird. Soll nun aber diese Gleichung bestehen, so muss 



km rkm-i s' , 

 9) • — = — + — (s' < 111) 



' 11 vn \ 2n 



wo die Summation nach ^, über alle geraden, nach >/, aber über alle ungeladen Zahlen des angegebenen Bereiclies auszudehnen 

 ist Nun lässt sich aber jedem g^ ein u^ so zugesellen, dass g^=:m—iii ist und demnach hat man für 



n =ri(mod. 4). 

 die Beziehung 



'~V^[-'+h = r;»-l)"-p:^'~2V["^l = 0(mod.2). 

 ^ ^ 111 - 1 '4 __^ m J 



x=l 1 



Denkschriften der mathem.-naturw. Cl. LX. Ed. 8 



