56 Lc op o 1 J (j cgc II b Li it f r, 



folgt 



111 = ,o,-t-r^2 



m — 1 

 und demnach entspricht jedem oberhalb — - — liegenden Multiplicator von ;/ in der Reihe 4), (bezie- 

 hungsweise 5]) ein ungerader (beziehungsweise gerader) Multiplicator der Reihe 1) in der Art, dass die 

 zugehörigen Reste in Bezug auf den Modul 2 incongruent sind. Beachtet man nun, dass unter den in der 

 Reihe 1) auftretenden Multiplicatoren der Zahl ;/, falls 



in = s(mod. 4) 



in — ' iw + s — 2 



ist, ungerade und j gerade vorkommen, so ergibt sich sofort das Theorem 



4 4 



•Bezeichnet ^„, „„ beziehungsweise »„, ,„ die Anzahl der positiven geraden, beziehungsweise ungeraden 



Reste, welche bei der Divisi(in der Producte 



iti — 1 

 \ .11, 2.11, 3.11,. . ., — — .11 {11 ungerade) 



durch ;;/ auftreten, so ist 



,n\ 



©=<->'" -^.- 



dessen auf //„.,„ bezüglichen Theil für den speciellen Fall, dass ;;/ und // Primzahlen sind, Herr A. Stern 

 in seiner interessanten Arbeit »Über einen einfachen Beweis des quadratischen Reciprocitätsgesetzes und 

 einige damit zusammenhängende Sätze« ' abgeleitet hat. 

 Da nach der eben gemachten Bemerkung 



_)«+£— 2 ._"' — - 



4 ' 



y. f^l- V ![S^]-.! o„o.2) 



in— 1 



^ r.v;;] m—z ^ .,^ 



/ , I ;;; J 4 



^ I ;;; J 4 



.v=l 



ist, so führt die x'erallgemeinerte Stern'sche Relation ohne weiters zu dei- bekannten Cileichung 



_ m -1 



*=1 Lml 



deren Verbindung mit 2) die von Busche, Kronecker, Stern und mir auf anderem Wege bewiesene 

 Congruenz 



»1 — 1 



2 



7a) 2^ |- +^] = 0(mod. 2) 



.1=1 

 liefert.^ 



' Göttinger Nachrichten aus dem Jahre ISTO, S. 237 — 25'i. 

 2 Diese Congruenz kann auch auf folgende Weise hergeleitet werden. Es ist 



in — 1 m —1 ni - 



.V = 



[xn 1 



2 _ ] _ 2 - ,> ^ ' 2 



X~\ .T = I .T=l 



m-1 

 ni — 1 2 



~ Z-j[ in ] /_,l m J 



in +1 



