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überein, welche von Null verschieden sind. Da nun nach dem verallgemeinerten Gauss'schen Lemma 



das Jacobi-Legendre'sche Symbol 1—1 den W'erth -f- 1 oder — 1 besitzt, je nachdem die eben envähnte 



.111.' 



charakteristische Zahl gerade oder ungerade ist, so hat man die bekannte Gleichung 



in -1 



©=<-•' 



^1 ![S + i]-[=]i 



welche auf Grund der Gleichung 4) des §. 3 sofort in die folgende, für Primzahlen schon von Gauss und 

 in ihrer allgemeinen Gestalt von Kronecker und mir wiederholt benützte Relation 



_ m —1 





übergeführt werden kann. Beachtet man, dass 



;j=z[ 



V l-i 1 — V r ('"~ -^".)" 



v~i r XII - 



(„,_„(„-.,- 2: s 



und demnach, falls ;// und ;/ ungerade sind. 



.v=l 



ist, so kann man in diesem Falle für 3) auch schreiben 



m— 1 



3) /«N - -. -=1 ^ '" ^ 



(J=(-^) 



Da aus der Gleichung 



rxn 1 

 XII =1 vi\ + i\- 

 1111} 



bei ungeradem m und ;/ folgt, dass r, nur dann ungerade ist, wenn x und [—1 nach dem Modul 2 



L /// J 



incongruent sind, so erkennt man aus den Gleichungen 2) und 3), dass die verallgemeinerte Gauss'- 

 sche charakteristische Zahl in diesem Falle auch gleich der Anzahl der ungeraden, beziehungsweise gera- 

 den Reste ist, welche bei der Di\'ision der Producte 



4) 2 .;;, 4 .», (j .;;,.. ., (;» — 1).;/ 

 beziehungsweise 



5) 1 . ", 3 . ;;, ,'1 .7; (;;; — 2) . ;/ 



durch ;;/ auftreten. Aus den Relationen 



kji ■=. in I — 1 +,0, (k ganzzahlig, O^p, < in) 



(m—k) 11 =111 \— — — I + ,0^ (0^,0j < ;;/) 



= iiidi—]) — — + P" 



