54 Leopold Gegen bau er, 



!/([/, kj) i = I X(;, [i,k])F{i,[i, k]) l(,,A- = „„„ „„, 



, I \{l,[l,k]) 1(1, t' = »„»; ",>) 



Nimmt man in der ersten von diesen zwei Gleichungen speciell 



■/{x) = |X(.V), 



so wird nach 6) die auf der rechten Seite derselben stehende Determinante gleich demProducte ihrerHaupt- 

 diagonalglieder, und daher hat man die specielle Relation 



!/([', kJ) l ,;, j. = „„ „, „„) = ]T| y^/(^') [lAchX 



1 .'). 



in welcher die Summation bezüglich il,. über alle Theiler von n,, zu erstrecken ist. Dieselbe ist eine 

 bekannte Verallgemeinerung der Smith'schen Formel 



Die durch die Gleichung 



U,k] |„M-=i,2...,») = |7| 'f (r). 



Z'i^]im =Zy-(<^ 



definirte F"unction h(ii) ist, wie man sofort erkennt, durch die Formel 



d 



gegeben, und demnach lässt sich auf Grund des eben ermittelten speciellen Resultates die Gleichung 21) 

 auch in folgender Form schreiben: 



!/(['•, /^]) 



Z*(^f')-/w 



tO\\,\ k]) 



((, k = ;(|, [t :,. ■ ., It/i) , 



in welcher sie eine bemerkenswerthe Darstellung des Quotienten zweier arithmetischer Determinanten 

 gleicher Ordnung durch eine Determinante derselben Ordnung liefert. 



§. 6. 



In diesem Paragraphe werde ich einige Bemerkungen mittheilen, \\'elche sich auf mehrere auf dem 

 verallgemeinerten Gauss'schen Lemma beruhende Beweise des quadratischen Reciprocitätsgesetzes 

 beziehen. 



Die Gauss'sche charakteristische Zahl einer ganzen Zahl ii in Bezug auf eine zu ihr theilerfremde 

 ungerade Zahl m ist bekanntlich gleich der Anzahl der negativen absolut kleinsten Reste der Producte 



) 



.11, 1 ■ II, ö.n,. . ., — - — /; 



nach dem Modul /;/, sie stimmt daher mit der .Anzahl derjenigen unter den Differenzen 



XII 



III 



XII I 



III 



