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Es stellt daher die über alle die Einheit übersteigenden The;7er J einer ganzen Zahl n erstreckte Summe 



2[|](Z- 





den Logarithmus des Productes der grössten gemeinsamen Theiler jeder von allen ganzen Zahlen des Inter- 

 valles \ ...in und n dar; es gibt ferner die über die Divisoren von // ausgedehnte Summe 



15) yj^\a{d) = F{m,u) 



die Summe der Werthe an, welche die Function f(.x) annimmt, wenn ihr Argument Jene grössten gemein- 

 samen Theiler von ;/ und den einzelnen Zahlen des Intervalles \ ...ui durchläuft, welche Primzahlen sind, 

 und speciell 



d 



die Anzahl dieser Theiler, wo mit a„(.v) diejenige Specialisirung der Function af.v) bezeichnet wird, für 

 welche die oben angegebenen Gleichungen in die folgenden übergehen 



00(1) = ao(.v) = 1 

 ao(.r) = (— 1)^"('| 

 ao(.r) = (— l)-<"+icZ,(,i-), 

 es ist weiter die über alle Divisoren von n erstreckte Summe 



YXjY{d)<^{d) 



d 



der Überschuss der Anzahl derjenigen Zahlen des genannten Intervalles, deren grösster gemeinsamer 

 Theiler mit n aus einer geraden Anzahl von (gleichen oder verschiedenen) Primzahlen zusammengesetzt 

 ist, über die Anzahl der übrigen, und es bestehen die Relationen 



->■= 1'") 



a^j.,,./, = !;[„,,. 



•v= l'") 



YrW, (— l)*WK|(ö!)'f,(i/) _ y 1 



Z_U7J W^ Zj [n, xY 



x=\ 



d A- 1 



T\j]f?-^icf)= y /?([«. -vi). 



d 



Mit Hilfe von Ausdrücken, welche ich für die zahlentheoretische Function ct(x) bei einer anderen Gele- 

 genheit aufgestellt habe, leitet man aus 15) und 16) sofort folgende Sätze her: 



Ist die zahlentheoretische P\mction j3'(.r) gleich 0, wenn .r auch nur einen seiner Primfactoren in einer 

 Potenz enthält, deren Exponent nach dem Modul a grösser als 2 ist, oder mehr als einen Primfactor mit 

 einem nach dem Modul t der Zahl 2 congruenten Exponenten, gleich ( — \)'-+\f(p), wenn bei der Darstel- 

 lung von .V durch ein Pi'odiict xnn Piimzahlpotenzen der Primfactur /' in dei' (^'-!-|-2)i'^'ii Pntenz aufti'itt, 



