32 Leopold Gegciibaiicr. 



Die Gleichung 3) l<ann daher in folgender Form geschrieben werden: 



n;.rx=(™) x = [tm->r\] 



WO die Summation bezüglich .\\ über alle [rm] nicht überschreitenden ganzen, mit der durch den Index \ 

 charakterisirten Eigenschaft begabten Zahlen, bezüglich a aber über alle durch / nicht theilbaren (bezie- 

 hungsweise für /^ 1 über alle) ganzzahligen Individuen des Bereiches 1 ...r — 1 zu erstrecken ist. 

 Es seien nun die Zahlen .v,, sämmtliche Theiler einer ganzen Zahl ;; : alsdann ist 



d' 

 = A-([»,.v]), 



wo die Summation nach d' über alle Theiler von x zu erstrecken ist, welche zugleich Theiler von n sind, 

 d. i. also über alle Theiler des grössten gemeinsamen Theilers [n, x] von n und x und daher hat man die 

 Gleichungen 



x=.[m] 



6) Z&^'^= y A^([".-^-]) 



d x=l 



x=[rin] 



Li\d ,v=[/hi.+ I1 



in denen die Summation nach d über alle Theiler von // ausgedehnt werden muss. 



Es mögen nun zunächst einige specielle Fälle dieser allgemeinen Relationen behandelt werden. 



a) Hat -/(.vj den VVerth [j,(.i-j oder 0, je nachdem x die ■jt^ Potenz einer ganzen Zahl ist, oder nicht, 

 so wird 



und demnach stellt die über alle Theiler J, von ;/, deren complcmentärer Divisor eine a'i-" Potenz ist, 

 erstreckte Summe 



8) I![^]ix(v!t)=aK") 



die Anzahl derjenigen ganzen Zahlen des Bereiches \ ...m dar, deren grösster gemeinsamer Theiler mit ;/ 

 durch keine a'e Potenz (ausser 1) theilbar ist, und es wird 



a, d- V ^ / 



Setzt man speciell 1=^ 1, so ergeben sich die bekannten Relationen 



V r"' 



[d\ i"- ('^i) — '^("'' ") 



V' fin a- 



^ I J + ,.J [i. ((/,) ='f {'■"/, '/,) — f (/'"■ ")• 



a,d, ' 



