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Schreibt man in der Gleichuncr 





" I 



in welcher die Summation nach x\ über alle die positive Zahl in nicht überschreitenden ganzen Zahlen 

 auszudehnen ist, welche eine bestimmte, durch den Index X charakterisirte Eigenschaft besitzen, für in: 

 in — 1 und subtrahirt die dadurch entstehende Relation von der ursprünglichen, so erhält man, da die Dif- 

 ferenz 



1) 



m-y-:^] 



den Werth +1 oder besitzt, je nachdem x\ ein Theiler von [;»] ist oder nicht, die Gleichung 



{tu) = (m— 1)-+-A'x(w), 



in welcher A'>,(';;/) die Summe der Werthe vorstellt, welche die Function X{x) annimmt, wenn ihr Argu- 

 ment alle zu den Zahlen .i->, gehörigen Theiler di, der ganzen Zahl [;»] dmxhläuft. Man hat daher die 

 Beziehung 



x={m] 

 \ ' rm-\ 

 2) 



x=\m\ 



•i'X=("') 



Ist r irgend eine ganze Zahl und 1^/^r ein Theiler derselben, so folgt aus 2) die Beziehung 



3) 



V \ 



^ ( 



rill 



. -V). J 



Um 



! X;. 



Nun ergeben sich aber aus der Gleichung 



.1= [)•»(] 

 ^/(.v>,)= 2^ X,(x). 



x=[hn+l\ 



5 ^ [s] + ^^ 



in welcher 



— ^Ei < (k ganzzahlig, nicht negativ, kleiner als r) 



ist, sofort die Relationen 



[rs] — r[s] + k 





welche zu der Formel 



^ d' + a- 



z [-"]='«- !:r-r] 



a=0 



ii=0 



führen. Da für t( = (i, 1, '1 r—k — 1 kleiner als 1, für a = r — /'+1, r — k-i-2,..., r- 



T 



und nicht kleiner als 1 ist, so wird 



U = I' — 1 



im-- 



rt=0 



und demnach ergibt sich die von Hermite, mir und Stern bewiesene Formel 



4) i.-si=Zb4\- 



Kleiner als 



