Arithnicfixchc J^nfcrsitchiniiicii. 29 



erwähnt werden, in denen rp<'''(;;/, ;/) die Summe der ^'ten Potenzen aller in nicht überschreitenden ganzen 

 positiven Zahlen vorstellt, welche zu ii theilerfremd sind, während 'Sk{iii,ii) die Anzahl derjenigen Systeme 

 von k hidividuen des genannten Bereiches ist, deren grösster gemeinsamer Theiler zu u theilerfremd ist. 

 Den speciellen Fall k—O der ersten, beziehungsweise k=\ der zweiten Gleichung hat Herr Professor 

 Kronecker in seinen im Wintersemester 1885/86 an der Berliner Universität gehaltenen Vorlesungen 

 über Zahlentheorie mitgetheilt, wie ich aus einem mir vorliegenden Collegienhefte ersehe. 

 Genügt die Function /(x) für jedes theilerfremde Werthepaar x,y der Relation 



7.(-^'J') = 7U')zCv). 

 so lässt sich die Formel 2) wesentlich \^erallgemeinern, wie jetzt gezeigt werden soll. 



Bezeichnet man mit t/»,,, ,,^ irgend einen Theiler von , so ist nach 1) (§. 2) offenbar 



/i'p?...;v 



A"l=«,-IJLj, ^2 = «:; — fJL-j, ■ . •, /^■3 = ^^3 





l;. 1-. *3=i> "a„ «-,..., o 



Multiplicirt man diese Gleichung mit ■/_y(p'l'-P'pi^^--i'-.. .pit^-^^) und summirt bezüglich |x<. von p^. bis 

 aj., so entsteht die Beziehung 



V aY '" 



.p^<P^-...pt^ pl^'pl^-...py. ^ - / 





_, ou, . . ., a 



Vereinigt man in der auf der rechten Seite derselben stehenden Sumnie alle Glieder, in denen [i.j,-\-h 

 den Werth .O/.H-T) (X = 1,2 i) hat, so ist deren Aggregat gleich 



und demnach nur dann x'on Null x'erschieden, wenn 





ist. Man hat daher die Relation 



3) LH^' ^ j ■/■' (") = ^ ' — ^: — ' —~. ^ j ' 



'—' \t: . / •■p-^' p:;... p^_' p^ p.,'--- p. ' 



in welcher die Summation bezüglich t über alle Theiler \-on n zu erstrecken ist, welche nur aus den 

 Primzahlen Pi, p^.-.-Pz zusammengesetzt sind, von diesen aber p,; mindestens in der f>i.ten Potenz ent- 

 halten, und speciell 



4) _ A j ■ j j ■/.. ^''".. -^ "^) = '^ ('" ' ,y^,,r^ pj . 



•■ — ."a„ a.,. . ., aj "a,, «.,..., Oj/ \ p ^' p.y • ■ ■ p ^'," 



«,, 'ju, . . .. a^ 



Für 



-;=:;-, ,0, = ,02 — • ■ • = 9r = 



