28 Leopold Gciicilbancr, 



■() Es sei endlich 



X(.v)=A-^X,(.v). 



Ist in diesem Falle a< a, so werden sämmtliche Elemente auf der rechten Seite der Hauptdiagonale 

 in der für '/_,(p"') aufgestellten Determinante gleich Null, während jedes der Diagonalglieder den Werth 

 — ;'*■■ hat; ist aber a<a + 2, so sind die Elemente der (a+Dten Verticalreihe das ;7^*'fache der entsprechen- 

 den Elemente der ersten. Multiplicirt man endlich, falls a =i a-t-,o(V/ == 1, 2) ist, die Elemente der [jten Ver- 

 ticalreihe mit p'-'-', subtrahirt sie von den correspondirenden Elementen der letzten und entwickelt sodann 

 die dadurch entstehende Determinante nach den Elementen der letzten Verticalreihe, so ergibt sich, dass 

 dieselbe das Product aus — ;'* und der dem Werthe a=:a + r> — 1 entsprechenden Determinante ist. Da 

 nun aber für - =: a die Determinante den Werth hat, wie man durch Entwicklung nach den Elementen 

 der letzten Verticalreihe ersieht, so erkennt man, dass 



j;/'^- (a< a) 



■/.i(r)=,_ , ^, 



und demnach 



7.1 (") 



\ii''' 



'0 

 ist, je nachdem ?/ durch eine ^j^<: Potenz (ausser 1) theilbar ist, oder nicht, d. i. 



■Xi(w) = lJ-=(")"*'- 



§■ 2. 



Nimmt man in der über alle Theiler J der ganzen Zahl ;/ erstreckten Summe 

 1) Vy-f[^|+ß])x(J) = A'(m,») 



d 



für ;;/ und n -- , beziehungsweise — , multiplicirt sodann mit /ifo) und summirt bezüglich 5 über alle 

 Theiler von ;/, so erhält man die Beziehung 



Zx(?.|)x.«)=>/(ff-P])x.P)/<V. 



wo die Summation nach o, über alle Theiler von ^ auszudehnen ist. Die Summe auf der rechten Seite 







dieser Gleichung kann man offenbar in folgender Weise schreiben 



Z/(['"-^])(2:-/.(".)-/'" 



\dd, 



(«1 



wo die Summation bezüglich </, über alle Theiler von — zu erstrecken ist. Da nun aber die auf d^ bezüg- 

 liche Summe stets den Werth hat (§. 1), ausser wenn - =z [ ist, so erhält man schliesslich die Relation 



d 

 Von den speciellen Fällen derselben mögen an dieser Stelle nur die zwei Beziehungen 



V'f'*'»(j,j)^*li-W^ 5, ([;;/]) 



z 



,..ci,:^).«)=w 



