Aritlniuiis:chc l 'iilcrsiuiiinigcu. 



und daher besteht die Formel 



5) 



■/,f„)=[7],-i)'^ 



1, 7.ip>d.---,7(.p7'\7(.r7'') 



0, 





1- ••■.zO'D-y.O'? 



0, 0, ...,xO',), ZO'IO 

 0, 0, ..., 1, •/_(;;,) 



Es mögen nun lur einige Specialisirungen von ■/(>) die conjugirten Functionen ermittelt werden. 



a) Die Function -/(.i') habe den Werth .v* oder 0, je nachdem x eine [M Potenz ist, oder nicht. Als 

 dann haben, falls a < fj ist, sämmtliche Elemente der letzten Verticalreihe der in der Gleichung 4) vor- 

 kommenden Determinante den Werth 0, während für a^2r/ die correspondirenden Elemente zweier \'er- 

 ticalreihen einander proportional werden; ist aber a=:p + T(f)>T>0), so kann diese Determinante dadurch, 

 dass man die mit p'' multiplicirten Elemente der (a — t)ten Horizontalreihe von den entsprechenden Ele- 

 menten der ersten subtrahirt, in eine andere verwandelt werden, die in der ersten Horizontalreihe lauter 

 Nullen besitzt. Es ist demnach in diesem Falle 



7Ap1) = 



10 



und demnach hat 7_y[u) den Werth ( — i)<^i")j,a- oder 0, je nachdem //« eine durch kein Quadrat theilbare 

 ganze Zahl ist, oder nicht, d. h. es ist 



ß) Es sei ferner 



■/_{x)—'^k{x). 



Werden in diesem Falle die Elemente der \'orletzten Verticalreihe der in der Gleichung 4) vorkom- 

 menden Determinante \-on denen der letzten subtrahirt, so ergibt sich wegen 



die Beziehung 



welche zu der Gleichung 



'f <-ü''-) — ?A-(/'*-') = 'f*0')'f*-0''""') 



7.1 (/'") = ■/..(;'"-'), 



führt. Man erhält daher für diesen Werth von -/(.r) die Gleichung 

 in welcher ~^{u) das Product allei- Primtheiler von ;/ x'orstellt. 



, Ich will bei dieser Gelegenheit mittheilen, das.s zwischen der Summe (fiC*'^»/) der /;te" Potenzen derjenigen ganzen Zahlen 

 des Intervalles 1.. n, welche zu n theilerfremd sind, und der Anzahl 'f)-(") von je ;- (gleichen oder verschiedenen) ganzzahligcn 

 Individuen dieses Bereiches, deren grösster gemeinsamer Theiler zu n theilerfremd ist, folgende Beziehung besteht: 



'-[II 



(t')AA — 



*(") 



X=l 



Den speciellen Fall {k=='l: 6'i(2)(H) ^ 2'i(H)»2+( — l)<l(")Ttj (H)-f(«) derselben hat Herr Bugaj ef im 13. Bande der zweiten 



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