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Gilt die Gleichung 1) für jedes aus r Primzahlen zusammengesetzte Product xy, in welchem wenig- 

 stens der Exponent eines der Primt'acturen ;'a- kleiner als a^. (k— 1, 2,..., r) ist, so ergibt sich aus 1) die 

 Relation 





.,K\., /„"■-■'■n 



wo die Marke am Summenzeichen anzeigt, dass nur solche Summanden auftreten, in denen mindestens 

 einer der Exponenten \k von Null verschieden ist. Das Aggregat aller Glieder dieser Summe, in denen X^ 

 einen der Werthe 1, 2,.. ., o-.,. besitzt, ist offenbar gleich 



»- - 1 X^. =aj. 



-x.(p:')R lx(i'^*)x. (;'?-'*). 



I X,. = 



und hat daher den Werth 0, weil nach 1) alle r — 1 Factoren des auftretenden Productes verschwinden. 

 Die letzte Gleichung verwandelt sich in die folgende : 



).,=«, , )...=a. ).|._| = a,_| 



y, (;.«■ j^ ...r:r) = _x, [pl') V' ^(^,;. ) ^ (^,^. ) . . . ^ ^j?;r-^) y; (^,^.->'.) ^, (;,:->■=) . . . ^, (;,:-'-''-'). 



X„ X.,,..., X,,_i=0 



Vereinigt man in der auf der rechten Seite dieser Gleichung stehenden Summe wieder alle Glieder, in 

 denen X,-_i=0 ist, und diejenige, in denen es einen von Null verschiedenen Werth besitzt, u. s. f, so 

 erhält man schliesslich die Beziehung 



X = a, 



oder endlich nach 1) 

 3) 



Da nun offenbar 



ist, so hat man nach 1) 

 woraus die Beziehung 



x.(K' ;'?... i':o=Hx,(7\')- 



1 



x(i) = 1 



Xl (1) = 1. '/.liPl Pz-- -Pr) = (-1)'" XÜ'l Pi- ■ -P')' 



r 



'/.liPtPi- ■rr)=p\yj{pi) 

 1 



folgt, und demnach besteht die Gleichung 3) für alle ganzzahligen, nicht negativen Werthe der Exponenten 

 y.i; und der Grösse r. 



x'\uf Grund dieser Eigenschaft lässt sich sofort ■/_,(") durch ypi) ausdrücken. Nach 1) ist nämlich 



x(.p). X (/'')'■••,. x(r-')^ x(r) 

 1, 7.(p), ■■■aip'^-'-h x(r-') 

 0, 1, ...,x(r-''), x(r--) 



4) 



Xi(r) = (-i)" 



0, 0, ...,-/.(;7), yji^p^) 

 0, 0, ..., 1, ySP) 



