ARITHMETISCHE UNTERSUCHUNGEN 



VON 



LEOPOLD GKGENBAUER, 



C. M. K. AKAD. 



VORGELEGT IN DER SITZUNG AM ö. JÄNNER 1S93. 



Im ersten Paragraphe der \'orIiegenden Mittheiiung stelle ich eine wichtige Eigenschaft der conjugirten 

 arithmetischen Functionen auf und bestimme sodann mit Hilfe derselben einige von diesen; im zweiten 

 werden zum Theile auf Grund der vorangehenden Entwicklungen zwei Relationen bewiesen, die bekannte 

 Sätze von Kronecker und Pepin als specielle Fälle enthalten. Der Paragraph 3 enthält bemerkenswerthe 

 Specialisirungen der im zweiten auftretenden Functionen und Formeln, welche u. A. mehrere für die 

 Theorie der Vertheilung der Primzahlen wichtige Resultate liefern. Im Paragraph 4 findet sich eine wesent- 

 liche Verallgemeinerung eines Sylvester'schen Satzes über Primzahlrnengen, durch deren Umformung 

 eine Gleichung gewonnen wird, als deren speciellster Fall die von M eissei zur Berechnung von Prim- 

 zahlanzahlen benützte Formel erscheint; im Paragraph 5 wird eine arithmetische Relation aufgestellt, die 

 zu einer Reihe von Sätzen über primitive Congruenzwurzeln und arithmetische Determinanten führt, und 

 im Schlussparagraph endlich eine für die Zahlentheorie wichtige V'orzeichenbestimmung gemacht. 



§• 1- 



Zwei arithmetische Functionen "/(.rj, /i (-v) heissen conjugirt, wenn die über alle Theiler d einer 

 ganzen positiven Zahl 



a, cu a,. 



ausgedehnte Summe 



)., = '/, ,>j=a,,... ,>,,.= «,. 



1) _'/-<''^'/-'',^i= h VAPi P2---P,)VaU\' 'IV ■■■■!',' ') 



den Werth oder 1 hat, je nachdem /; :~-- 1 oder n =z 1 ist. 

 Für diese Functionen gilt folgendes Theorem: 

 Ist für alle theilerfremden VVerthepaare .v, y 



X(.rj/)=xWxC)')> 

 so besteht für dieselben auch die Gleichung 



Xi (^^) = 7.1 (-'■) 7.1 Ü')- 



Ilcnkschriftcn der matliem.-naturw, CI. LX. Bd. ' , 



