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und demnach ergeben sich die Relationen 



A^;")Z/(^)x(so 



8) l't, /■'"]) ■'■"" = ^^v 



n 

 wo die Summation bezüsflich o, über alle Theiler von r auszudehnen ist. 



Von den in den vorigen Zeilen aufgestellten allgemeinen F'ormeln ausgehend, will ich nun einige 

 bemerkenswerthe zahlentheoretische Relationen entwickeln. 



a) Zunächst mag eine Anwendung derselben auf die Theorie der in Bezug auf einen Primzahlmodul p 

 zum Exponenten n gehörigen ganzen Zahlen gemacht werden. 

 Jede für den Modul p zum Exponenten 



n = p'\' ji'J-. . .p";'' = p'l} P\ (a ein Theiler von p — 1) 



gehörige Zahl lässt sich bekanntlich nach demselben in der f^orm 



cjA ßl+■P;?J + •■■ + -P<•?.• 

 darstellen, wo a eine bestimmte von ihnen vorstellt, und ß), eine durch pi nicht theilbare ganze Zahl 

 unterhalb ^j"*- ist. Es genügt demnach die Summe s^. aller zum Exponenten ;; gehörigen Glieder eines 

 Restensystems für den Modul p der Congruenz 



)' 



s, = ^ ^fl^-'^'-^Mmod. 7'), 



er alle ;?"''^'(. 

 1 ...//'>' zu erstrecken ist, oder also der Congruenz 



O j y ai^A-p>,_ y a:u-nP),j (mod. ;' 



1 fi. 

 wo die Summation bezüglich ßx über alle pl'^^\p\ — 1) zu pi theilerfremden Individuen des Intervalles 



Ist nun 

 so ist offenbar 



1 lir^O (1=0 



y fli'.t-Px _ y ^•■'■'•■r>.n = '—pf^-Hnwd.p)(^J = 0.1—1 

 7^0 h (vt''-'(A-l) (v=a„) 



und daher 



Su = (mod. ;') 



7/ 



wenn k nicht durch theilhar ist, und in allen anderen Fällen 



PlPl---Pr 



Diese zwei Congruenzen lassen sich, wie man leicht erkennt, in die folgende vereinigen: 

 9) s, = -^iJ.(P).i.([/', ^'l'fj ■f(\P, ''I^Jj (mod. ;'), (!'■ [[-P. '^]) = ^ füv ^^ nicht ganzzahlig) 



uo P das Product aller Primthcilcr von ii \-(M'stc11t. 



