Aiitlinuiisclie Untcrsnchiuigcu. 



= I,,v=[m| 



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5, .V=0 .V=l 



1, i-=[»i] .v= [m _ _ 



s=l,i-=[,«] .v=[m] v-l"-! 



.V=(l 



Die Formel 1) [und demnach auch 2) und 3)] lässt sich — unter einer gewissen Voraussetzung — in 

 eine andere verwandeln, welche zwar in theoretischer Hinsicht etwas weniger einfach ist, weil sie die 

 Kenntniss von Primzahlmengen in Intervallen, die über sj m hinaus liegen, erfordert, in praktischer 

 Beziehung aber wesentliche Vortheile darbietet, da Anzahl und Umfang der bei derselben auszuführenden 

 Rechnungen bedeutend geringer sind, als bei der ursprünglichen. 



Die Summe auf der rechten Seite der erwähnten Gleichung kann man nämlich als Aggregat von drei 

 anderen darstellen, indem man zunächst alle Glieder vereinigt, in denen x keinen zwischen \ m und sj in 

 befindlichen Primfactor enthält, sodann jene, in denen im Nenner eine solche Primzahl vorkommt, und 

 schliesslich diejenigen, welche ein durch zwei solche Primzahlen theilbares x besitzen. ^ 



Berücksichtigt man nun, dass für alle Primzahlen P;., p^iQ^^li-), welche zwischen \/ ni und S/m 

 liegen, 



i 111 ^ 



m L' <: — < m 3 



p-K 



in L 



1 <- < m 3 



ist, so erkennt man, dass nach 1) die Gesammtheit jener Glieder der zweiten Gruppe, in denen x den 

 Factor fi, enthält, den Werth 



-'^''•"Ap.'\j.)~'[v=i) 



besitzt, während die Summe jener Glieder der zweiten Gruppe, in denen .v durch f,,;?^ theilbar ist, gleich 



z(-^\ wird, falls keiner der Primtheiler von r v / überschreitet. Man hat daher, falls r der eben 



^»'— 1^ V /V,(v/,») 



angegebenen Bedingung genügt, die Relation 



x= [m] . ; 



x=\ r 



1 



n welcher die Summation bezüglich p über alle zu r theilerfremden Primzahlen des Intervalles 

 sjvi.. sJ ni auszudehnen ist, und ^ den Werth 



%(S/m)— e(v^/OT) — r(\/w; \/ m) 



hat, wenn vi\/~ni, \/äi) die Anzahl der zwischen \^m und \/iii liegenden Primtheiler von r ist, 

 F"ür r=: 1 geht diese Gleichung in die bekannte F'ormel 



a = [hj) S=|1. 



Sdll) = f \ - 1J.(.V-) ) ;,, > e I -— I + z([>. + 1 ) + 



.1 = 1 s=l 



über, in welcher 

 gesetzt wurde. 



