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Ist / ein durch kein Quadrat theilbarer Factor von r, so hat man, da derselbe zu allen Zahlen x 

 theilerfremd ist, die Beziehung 



1 /■"' > . / 't' ^ / \^ r '" ■ '•'••1 , . \ />"■ ^ , nty 



.v= 1 

 V =[-] 



und daher falls üi{t') ungerade ist, 



wo durch die Anfügung des dritten Buchstaben (/) angedeutet wird, dass ausser den in der mit zwei In- 

 dices versehenen Summe auftretenden Werthen von ,v noch das /-fache eines jeden von ihnen zu nehmen 

 ist, und a.v die kleinste positive Wurzel der Congruenz 



a','.r = a, (mod. r) ([x,t]= 1) 



beziehungsweise 



"^£Ea,(mod. r) ([-v, /] = /) 



vorstellt. Ist/ eine Primzahl und F/, --1=:1, so kann man die letzte Gleichung auch in folgender Form 

 schreiben : 



3) A..„/'"--7)=(y['"+^^'ji^-(-v)) ,. 



• p V ' / \ ^ — I i rx r J ' "ij ; — 



Für r= 1 ergibt sich aus 1) die längst bekannte specielle Relation 



.v=|m] 



p,(„i)_H(,u^)^(^ V ['1^] ijlvf 



X 



,1 = 1 



für r=i/:=2 gehen die Gleichungen 2) und 3) in die umgeformte Sylvester'sche Formel über, während 

 sich 1) für r-=.2 in 



m+l 



^4,. , (nr. »,,)+! ^ ( ^ [^^^ + ^Jl^^.v-l));^ 



x=i 



verwandelt, wo durch die obere Marke ' am Summenzeichen, wie in allen folgenden Formeln, angezeigt 

 wird, dass sich der erste der unten angefügten Buchstaben nicht auf .v, sondern auf die als Argument 

 von [i,(j') auftretende Zahlform (hier also auf 2.v — 1) bezieht. Setzt man in der letzten Formel m gleich 

 einer ungeraden Zahl, so erhält man eine von Legendre in seiner »Theorie des nombres« aufgestellte 

 Relation. 



Von anderen bemerkenswerthen neuen speciellen Fällen der abgeleiteten allgemeinen Gleichungen 

 mögen noch die folgenden besonders erwähnt werden: 



