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W'erthe. welche die P'unction '"^r annimmt, wenn ihr Argument alle Primtheiler von .v durchläuft, deren com- 



plementärer Divisor aus einer geraden Anzahl von verschiedenen Primzahlen zusammengesetzt ist, und 

 der Summe jener Werthe, welche diese Function erhält, wenn für y die übrigen Primt'actoren von .r mit 

 durch kein Quadrat (ausser 1) theilbaren complementären Divisor gesetzt werden, so besteht die Gleichung 



d 

 und speciell • 



wo 5f*(.r) die dem speciellen Werthe /(.r) =: 1 entsprechende P\inction o(,v) vorstellt. 



A'lultiplicirt man den Werth, welchen die willkürliche Function /(.v) annimmt, wenn für ihr Argument 

 diejenige Primzahl p gesetzt wird, welche in irgend einem derjenigen unter den [;;;] grössten gemeinsamen 

 Theilern von ii und einer beliebigen ganzen Zahl des Intervalles \...i!i, bei deren Darstellung durch ein 

 Product von Primzahlpotenzen sämmtliche Exponenten mit Ausnahme eines einzigen (zur Primzahl p 

 gehörigen) gleich t sind, während dieser einen der Werthe 1, t+\ besitzt, in der ersten oder (a+l)ten 

 Potenz erscheint, mit +i oder — 1 , je nachdem der zu p complementäre Theiler eine gerade oder 

 ungerade Anzahl von verschiedenen Primfactoren enthält, und bezeichnet die Summe der so entstehenden 

 Aggregate mit F,(m, ii), so hat man die Formel 



F(m,n)=y^F^(^-^,'^y(d)&(c!) 



imd speciell 



V ^„^ /^w n 



»(m,u) = 2^Ff(j,^j\(d)rS,id), 



wo F?0», ;/') die dem Werthe f(x) = 1 entsprechende Function F,(w. u) ist. 



§■ 4. 



Die im vorigen Paragraphe angeführte Modification der Syl vester'schen Formel für die Anzahl der 

 dem Intervalle m-\-\...2u angehörigen Primzahlen ist nur ein ganz specieller Fall einer anderen, weit all- 

 gemeineren, zu deren Entwicklung ich nun übergehe. 



Es seien 



a,,a2,. . .,a,j(,.i 



als zur ganzen Zahl r theilerfremden ganzzahligen hidividuen des Intervalles 1 ...7- 



(— 1 )• «)., a,,, . . . ax, = ax„ x. x,(mod. r), 



wo ax„x Xt selbstverständlich eine ganz bestimmte von den eben genannten 'f(r) Zahlen ist, und unter 



den T Indices X^t auch gleiche vorkommen können. 



^ die beliebige positive Zahl )u nicht übertreffenden ganzen positiven Zahlen von 



der Form nr— x, sind offenbar nur die folgenden durch das Product (r.i-, — ax,) (r.Vg — ax j . . . (nV:— ax.) 

 theilbar: 



(r— a„„„,^ ,,,) (r-v-,— ax,) (r.v^— a^) . . .(r.r — «xj, (2r— a^„^^ ,,,) (r.v,— ax,)( r-v,— axj. . .(r.r— ax,),. . . 



/lr(r.r,— ax,) (r.r^— axj. ..(r.v,— ax,) r J ^. ' - ' , > 



w(i a,^„ jL |it durch die Congruenz 



ax„ X, Xx ''•,,■,. !4 1^: = 't' ''"■'"<^' '■) 



Denkschriften der m.ithem.-naturw. C\. LX. Hd, 6 



