40 Leopold Gi\i;eiibancr, 



Ist Po^:,(m,n) gleich der Summe der Anzahlen derjenigen Theiler eines jeden unter den [m] grössten 

 gemeinsamen Theiler von n und einer beliebigen ganzen Zahl des Bereiches 1 ...ni, welche ^'e Potenzen 

 sind, ist ferner die zahlentheoretische Function s,(x) gleich Null, wenn bei der Darstellung von x durch 

 ein Product \'on Primzahlpotenzen auch nin- ein Exponent grösser als i + 2 ist, oder einen der Werthe 

 3, 4,...'j — 1 hat, oder, wenn mehr als ein Exponent nach dem Modul i der Zahl 2 congruent ist, gleich 

 ( — ^ypfip) (beziehungsweise ( — 2)'pf{p) für -5=1), wenn die Primzahl p bei dieser Darstellung den 

 Exponenten t oder "5 + 2 hat und in dem zu ihr complementären Divisor -;,, Primfactoren einen der beiden 

 Exponenten 1, t besitzen, endlich gleich der über alle Primtheiler von .v ausgedehnten Summe 

 V( — l)V/(7') (beziehungsweise \ ( — -)''pt\p) für t^: Ij in allen anderen Fällen, so besteht die Beziehung 

 ;' r 



' — ' ^ Cl dl 



und speciell 



(■Hu,,n) = yp,j''^,'ly^\d), 



d 



wo mit ^^^\x) diejenige Specialisirung der Function S;(.v) bezeichnet wird, für welche die obigen Werthe 

 in die folgenden übergehen; 



%f{x) — 



zf\x) z= ( — 1)';', beziehungsweise ( — 2yp 



s'^o)(,v)= N ( — 1)';., beziehungsweise / ( — 2)''p. 

 p r 



Bezeichnet A{it!,v) den Überschuss der Anzahl derjenigen unter den [m] ganzen Zahlen des Inter- 

 valles 1.../;/, deren grösster gemeinsamer Theiler mit ii aus einer geraden Anzahl von (gleichen oder 

 verschiedenen) Primzahlen zusammengesetzt ist, über die Anzahl der übrigen, ist ferner die zahlentheo- 

 retische Function ]\(x) gleich Null, wenn x durch eine dritte Potenz oder durch mehr als eine zweite 

 Potenz (ausser 1) (heilbar ist, gleich /(y), wenn p^ der einzige quadratische Theiler ihres Argumentes 



v^ 



ist, und besitzt sie endlich den Werth J(.P)^ ^^'o dieSummation über alle Pnmtheiler von .v zu erstrecken 



;■ 

 ist, falls diese Zahl durch kein Quadrat theilbar ist, so hat man die Relation 



Vv/'" "^ 

 —■^ [d ' dl- ^' 



j 

 und speciell 



,»,=lAf|.;;)n»M, 



wo Yi^\x) diejenige Specialisirung der Function i\(x) vorstellt, für welche die eben angegebenen Werthe 

 sich in die folgenden x'crwandeln : 



rf(x) z= 



r(0)(.r) = 1 



rfHx) = 'S.(x). 



Bezeichnet Si;(in, ii) die Summe der /,'te" Potenzen aller [ni] grössten gemeinsamen Theiler von n und 

 irgend einer ganzen Zahl des Intervalles 1 .. iii, ist ferner die zahlentheoretische Function Ot.(,r) gleich Null, 

 wenn bei der Darstellung von .v din-ch ein Product \-on Primzahlpotenzen auch nur ein Exponent grösser 

 als 2, oder mehr als ein Exponent grössei- als 1 ist. sonst aber gleich der Differenz aus der Summe jener 



