Bahiibcstiunuimg cinc^ H/iiniiclskörpers ans drei Bcobacliliiuiicu. 365 



lässt. Um dies nachzuweisen, multipliciren wir die dritte unserer Grundgleicliungen A) des §. 2 mit x und 

 addiren sie JTierauf zur zweiten, wodurch wir erhalten: 



"i Pi [sin {X,-n) +x tg ß,] — "af^ [sin [\—^) + x tg ßsl + w^f/ [sin (X,-n) +.r tg ß3] = 

 ^1l^R^ sin (L, — 11) — n^R^ sin (L^ — ü) + ».jÄ^ sin (Lj — II). 



Aus dieser Gleichung kann man durch entsprechende VVahl von .v irgend eines der [/ wegschaffen, 

 ohne den willkürlichen Winkel II zu tangiren, und ohne im Ausdrucke rechter Hand, den wir Kürze halber 

 E nennen wollen, eine Änderung herbeizuführen. Wir gewinnen so die folgenden drei Relationen, in denen 

 die (7 und Q dieselben Hilfsgrössen wie immer darstellen. 



"sPfi 9i sin (Qj— TI) tg ß, —«2 p'2 ^s sin (O3— IT) tg ß^ — —E tg ß, 

 ", p' Qi sin (O^-Il) tg ß, -»^f/, c7, sin (0,— II) tg ß, = +E tg ß^ 

 n^{J\ q^ sin (O3 — II) — "spft'?! sin (0, — IT) = +£. 



Der beiden ersten Gleichungen bedienen sich Fabritius und R. Vogel in ihren Eingangs citirten 

 Abhandlungen, um auf sie in Verbindung mit der von uns zur Bestimmung von p^ und r^ verwendeten 

 Gleichung ihre Methoden der Bahnbestimmung mit Benützung des Gibbs'schen Theoremes zu basiren; 

 die dritte Gleichung ist die Grundlage der Olbers "sehen Methode. 



Sind die Zwischenzeiten kleine Grössen erster Ordnung, und gilt dies auch \-on den geocentrischen 

 Bewegungen, so gehören die Glieder linker Hand der zweiten Ordnung an, E aber der dritten. Übergeht 

 man es daher ganz und ersetzt man die Dreiecksflächen durch die Zwischenzeiten, d. h. schreibt man 

 einfach; 



P^ _ % % sin (^3—0) tg ßg _ ^^ 



f/, e.jt7, sin(0, — II) 



so erhält man die M mindestens bis auf Grössen erster Ordnung genau, kann sie aber durch zweck- 

 entsprechende Wahl von 11 in der Regel noch um eine Ordnung schärfer bekommen. Denn setzt man den 

 willkürlichen Winkel 11 : L,, L,^ oder L3, so wird £, wie man ohne Mühe erkennt, auf eine Grösse vierter 

 Ordnung herabgedrückt; diese Annahme ist aber an die Bedingung gebunden, dass die nicht zu nahe 

 an den L liegen, d. h. dass die durch die beobachteten Orte gezogenen grössten Kreise nicht zu nahe an 

 den Sonnenorten vorüberführen. 



Die Kenntniss des Verhältnisses der geocentrischen Distanzen genügt jedoch für sich allein nicht zur 

 Berechnung einer Bahn, wohl aber dann, wenn ausserdem eines der Elemente, z. B. die Excentricität 

 bekannt ist, oder wie bei der Berechnung einer Kometenbahn als bekannt vorausgesetzt wird. Es wird 

 dadurch die Bahn auch in dem Falle bestimmbar, wo die drei beobachteten Orte sehr nahe in einem 

 grössten Kreise liegen, der durch den mittleren Sonnenort hindurchgeht. In der Kometentheorie begründet 

 dies den sogenannten Ausnahmefall der Olbers'schen Methode, den ich am Schlüsse noch eingehender 

 zu besprechen mir vorbehalte. 



§• 7. 

 Genäherte Auswerthung der einzelnen in Betracht kommenden Glieder. 



Es erübrigt uns jetzt noch, für die einzelnen Gruppen von Himmelskörpern, die bei Bahnbestim- 

 mungen in Betracht kommen, Grenzwerthe für deren Radienvectoren und die /^ und '\ (9*) genannten 

 Grössen aufzusuchen. 



