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Der Fehler von Gauss' Annahme beträgt demnach: 



0\l4)R - (T-, (4)g = ^ 6. 635, [1 (63-6,) ctg(0,-L,) (1 - -1)+ (63-e,) (x-X)- ^:^ + ^ß], 



während der Fehler meiner Gleichung, bis auf denselben Grad der Genauigkeit angesetzt, sich beläuft auf: 



iV,[4h-(V^[^>- = ^Ä sin (Q,-G,) Cx-X), 



wozu noch zu bemerken kommt, dass ^ijj eine kleine Grösse zweiter Ordnung ist, von ■/_ und X das letztere 

 stets, das erstere aber mindestes bei den Asteroiden ebenfalls sehr klein bleibt. 



Meine Gleichung ist daher bei derselben Einfachheit genauer als die von Gauss, obwohl auch bei 

 ihr die vernachlässigten Glieder bei nahe gleichen Zwischenzeiten von sehr geringer Bedeutung sind. Sind 

 jedoch die Zwischenzeiten ziemlich ungleich, so kann das eine dieser: 



1 63—6, . _ ^ , 1 



3 • ~^Rf^ ""^^ ^Q^-h) ^ - 3 (6;, -6,) ctg {0,-L,) 



immerhin einen sehr merklichen Werth annehmen und schon recht störend einwirken. Darin scheint mir 

 auch die Hauptursache zu liegen, warum Gauss diese Gleichung später verliess; denn Hansens Kritik 

 derselben am Schlüsse seiner schon wiederholt citirten Abhandlung über Bahnbestimmung aus drei Orten, 

 halte ich in manchen Punkten nicht für zutreffend. 



§. 11. 

 Elimination des mittleren Radius-Vector. 



Der Radius-Vector des mittleren Planetenortes {i\) spielt bloss die Rolle einer Hilfs- oder richtiger 

 Zwischengrösse, die später nicht weiter gebraucht wird. Da aber r, und r.j von r.^ nur um Grössen erster 

 Ordnung abweichen und daher durch Ersetzen von r.^ durch dieselben niu' noch weitere Grössen solcher 

 Rangordnungen weggeworfen werden, welche wir ohnehin schon vernachlässigt haben, kann man die 

 Berechnung desselben ganz umgehen und Rechnungsvorschriften entwickeln, die manchem bequemer und 

 einfacher erscheinen dürften. Sie mögen daher hier angeführt werden. 



Wir schreiben also die Fundamentalgleichungen für [j[ und p..': 



0-5)^^ = ^K^ 



Es sind jetzt statt wie früher bloss ein Radius {i\) deren zwei r, und r., durch eine indii-ecte Rech- 

 nung zu bestimmen, wobei freilich zu bemerken kommt, dass, wenn man den einen, z. B. i\ ermittelt hat, 

 dieser für die Berechnung des anderen r^ gleich anfangs einen so genäherten Werth abgibt, dass die 

 W^iederholung der Rechnung kaum nöthig werden dürfte. Andererseits fällt die Berechnung derHilfsgrössen 

 (/., und 0,, sowie die von r^ weg. Ausserdem wird es nun zweckmässiger sein nicht die curtirten Distan- 

 zen [j[ und fj^, sondern gleich die wahren p, und p., zu suchen. 



Die Modificationen, die durch alles dies in unserem früheren Formelsysteme anzubringen sind, smd 

 die folgenden: 



I und II bleiben unverändert. 



Bei 111 fällt die Berechnung von q^ und 0.^ weg, es entfällt damit aber auch die Priibegleichung. 



IV bis VI sind durch die folgenden zu ersetzen: 



