Eiiijhiss der KUisticitäl auf die Silnvaiikungeii der PoUiöhe. 

 1 



295 



A'a = ;7 



2» +3 

 1 





^*~r2 2h+:S 



n — 



« + 1 i » + 1 



/7j. soll nun für r:=a identisch verschwinden. Das kann wieder nur dadurch geschehen, dass die 

 durch diese Substitution auftretenden harmonischen Flächenfunctionen derselben Ordnung für sich ver- 

 schwinden. Es muss daher 



."^gn 



8 (Hi,-\\ 



iKu 









' ö.v 



A-^r-''+s „1 ^^„') := werden 



für r 



8.r \r2»+V 



Die Oberflächenbedingungen involviren also wieder eine Überbestimmung für j\. Denselben kann 

 nur dadurch genügt werden, dass die Functionen i/„_i und Z„+i selbst für r=a verschwinden. J/„_i 

 und K„+i sind also Functionen, welche sammt ihren ersten Ableitungen endlich und stetig sind, der Glei- 

 chung yy=0 genügen und auf der Oberfläche der Kugel r = ü verschwinden. Sie müssen daher über- 

 haupt innerhalb der Kugel verschwinden. Es muss also Ä',,^.] =: und //„_i ^0 nach (16) daher auch 



sein. Die Functionen ?„, tj,,, C« sind daher so zu bestimmen, dass 



und 



8i( S;^« 9C« _ ,^ 

 8.f '^ ^y Zz ~ 



x-^^ 



^-^' 



z — 



8c 



Die erste Bedingung wird erfüllt, wenn man 



;„ —yZ—zY, ■/!„ z= zX—xZ, ;„ = xY—yX 



setzt, wo A', Y, Z Functionen von x, y, z sind. Dann ist 



Z^ -b-f^ Kn_ (^_y_^Z\ ß_Z_ZX\ i^j:_ZY 

 Zx -by "bz ~ ^\-dz 8_y/ -^W Zz ) \dy bx 



und dieser Ausdruck verschwindet identisch für 



"hy 

 Es wird also 



^"=-^8T-^8^ 

 u. s. w. sein. Nun kann man sich leicht überzeugen, dass, wenn /„ eine räumliche Kugelfunction ist, 

 Ausdrücke von der Form 



"hy ^ -hx 



u. s. vv. wieder räumliche Kugelfunctionen — offenbar derselben Ordnung — sind. Substituirt man also für 

 / die Function x«, so werden i„, tj,,, ',„ wieder als räumliche Kugelfunctionen erhalten, und man hat somit 

 das Lösungssystem 





8_j' 



^^^gn\^t^ 



>[Jl!L^,hl) 



(17) 



IV., 





Zy 





