300 Carl Hillchraud . 



Die a". ß'', ■{" genügen den Gleichgevvichtsgleichungen, wenn keine äusseren Kräfte vorhanden sind 

 und die darin auftretenden willkürlichen F\inctionen werden durch die Obernächenbcdingungen bestimmt. 



Im vorliegenden Falle ist 



Km. Km. 



wenn m^ die Masse, .r,. i',, ~, die Coordinaten des Schwerpunktes des störenden Körpers bezeichnen. 

 Es soll 



sein. Man überzeigt sich leicht, dass 



2 X+|JL • 

 der Gleichung genügt. 



Um nun, wie es erforderlich sein wird, diesen Ausdruck in eine Reihe von Kugelfunctionen zu ent- 

 wickeln, setzt man 



i?, = -1 [{x-x,Y + {y-y,f + (z-z^'] = -1 (r] + r^ - 2 r,r cos o)), 



wo (u den Winkel (r,, i) bedeutet. 

 Es ist 



wo Pi, (cos (o) die «te Kugelfunction ist, daher: 



J— cos üj =r 7 cos wP,, (cos <u). 



i?, ^ r^" ^ ' 



Unter Zuziehung der Recursionsformel 



_ n P„_i (cos w) + (/; + 1 ) P,i 4.1 (cos (ü) 



cos tuPii (cos (o) 



2h+1 



findet man, wenn man die Glieder mit Kugelfunctiiincn gleich hoher Ordnung vereinigt 



.'2 



i- COS (u = 7 + ~ • -.r- r / „(cos (O) 



?, Z-jV2m — 1 2m+3 r\/tY-^ ' 



Substituirt man iliesen Ausdi'uck, sowie die iMitwicklung für ^ in A', , so lindet sich 



A I 



R, - - -r^V— ^ *^ P„(cos (.;) + ;-2'^^— ' . ^, P„ (cos to). 



Die erste Reihe kann aber offenbar in W vernachlässigt werden. 



Denn r„P„(cos w) ist eine räumliche Kugelfunction in x,y, z, daher auch die Differentialquotienten nach 

 diesen Grössen ebensolche Functionen sind. Der Reitrag dieser Reihe in den c.', ß', 7' besteht also in räum- 

 licher Kugelfunction der Variabein x,y, z. 



In den allgemeinen Integralen 7.' -ha", ß'-t-ß", ■;' + -i'' können daher diese Theile mit den willkürlichen 

 Kugelfunctionen U,„ V,„ W„ vereinigt gedacht werden. 



Man hat daher 



"■ = TT • , — — f / -. rr • r, "»(cos w). 



2 X + (j, Z_j2m+3 r,« + ' ^ 



