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schat'tlich hindurchgehen. Dieselben sind durch gewisse symmetrische Functionen ausgedrückt und 

 meines Wissens noch nicht aufgestellt worden. Hiezu sei noch bemerkt, dass die Methoden, welche 

 zur Aufstellung derselben geführt haben, auch zur Ermittlung der Bedingungen benützt werden kimnen, 

 dass eine ebene algebraische Curve einen, zwei, ..., / Doppelpunkte an beliebigen nicht bekannten 

 Stellen besitzt. 



I. Abschnitt. 



Die symmetrischen Functionen eines Systems von Variablenpaaren. Tabellen der 

 symmetrischen Functionen des ternären Gebietes. 



§• 1- 



Die einfach symmetrischen Functionen eines Systems von Variablenpaaren. Definitionen und 



Erklärungen. 



Zwei ternäre Foi'men /= ii"', cp =^ Z'" vom Grad ;;/. beziehungsweise ;/, haben bekanntlich r = ;«;/ 

 Variablenpaare — Gruppen von je zwei Elementen — 



gemeinschaftlich, die wir im Sinne der Geometrie als die (nicht homogenen) Coordinaten der r =: inii 

 Schnittpunkte der beiden ebenen Curven / und rp betrachten können. 



Eine Function dieser Gruppen, die sich nicht ändert, wenn man die Elemente zweier 

 derselben vertauscht, heisst eine symmetrische Function jener Grössen. So ist beispiels- 

 weise 



eine symmetrische Function der drei Giuppen 



x^y^, x,y^, x.,y^. 



Wir betrachten zunächst nur ganze P\mctioncn dieser Art und begnügen uns mit dei- Bemerkung, 

 dass sich jede gebrochene Function der Gruppen .r,)', als Quotient zweier ganzen Functionen darstellen 

 lässt. 



Eine symmetrische F'unction von r Gruppen .f,j', , x^y.^,. . ., x,-y,, welche in jedem Glied 

 die Elemente von / derselben enthält, heisst eine /-förmige oder auch / thcilige Func- 

 tion. Eine solche ist 



Je nachdem /=1,2, 3, . . , r ist, unterscheiden wir demnach einförmige, zweiförmige, . . . , 

 r- förmige oder auch ei nth eilige, zwe it heil ige, .'. ., r- thcilige Functionen. 

 Die Zahlen 



1i = 'l +ßp ^2 = ''•2 + ßr Q, = ''•< + ß' 



bezeichnet man als Theilgewichte und die weiteren 



P\ — 5'-, +S+ +^-" J\ - ßi +i\+ +?' 



als Reihengewichtszahlen der zweireihigen Function ./. 



Da man den Ausdruck für die symmetrische Function erhält, indem man die unteren Indices irgend 

 eines Gliedes auf alle möglichen Arten vertauscht und die erhaltenen Ausdrücke addirt, so ist J auch eine 

 homogene Function vom Grad;;,, bzw. y^ hinsichtlich der Elemente der Reihen .v, .v^. . ..v,, bzw.j'jj'^ 



• • -yv 



Das Totalgewicht oder das Gewicht der Function ./ ist dann angegeben durch 



