Die sviimu'fr. Fiiuctioucn der gcmeinsch. Variahlcupaare fentärer Formen. 441 



Eine symmetrische Function, welche 1 near ist hinsichtlich der Elemente jeder Gruppe, die sie enthält, 

 für welche also 



iht. ist eine Elementarfunction derselben. Beispielsweise ist 



eine zweiförmige Elementarfunction der drei Variablenpaare 



A-,.Vp x^y^. x^y.j.. 



Bei r Variablenpaaren .v,j'|, .\\y^ a-,_v,- unterscheiden wir n-=: — - — Elementarfunctionen, die 



wir in folgender Weise bezeichnen wollen; 

 S.V, =.7,, l\\ = a^, 



y ^ ^ Y , ^^ 



-X\Xi ''ii- — ^l.'z — ''l2' --'l-^'a — '^22' 



-.r,.Vj,r.j =r a,,, . -.Vj-Vg l'i '^112- — *'|.''2J'.1 '^122' "^'l -5 2 -5.1 — '^222' 



(2) 



-Xy\:^ .V, = rt,,o. -^,.Vj ;i',_ijiv = <J,-i. i.- • • ^ji'i.Vz JV = «o,,-. 



Da die Anzahl der in denselben enthaltenen Elemente .v,j', nur 2r beträgt, so folgt, dass die Elementar- 

 functionen durch a — 2 r = - ^— - — - identische Relationen untereinander zusammenhängen müssen. 



Auf das Vorhandensein dieser Relationen hat zuerst Schläfli in seiner berühmten Arbeit vom Jahre 1852 * 

 hingewiesen, ohne auf die Frage nach ihrer Darstellung näher einzugehen. Wie diese gebildet werden 

 können, habe ich später in mehreren Arbeiten** gezeigt und gleichzeitig auch bewiesen, dass sie die 

 Bedingungen repräsentiren, dsss eine ternäre Form in lineare Factoren zerfällt. Herr Brill und Herr 

 Gordan haben in neuerer Zeit die Bildung der Relationen zurückgeführt auf Fragen der Invarianten- 

 theorie. Wie diese Relationen direct auch aus den Tabellen / entnommen werden können, werde ich 

 weiter unten besprechen. 



In ähnlicher Weise wie die Elementarfunctionen seien auch die einförmigen Functionen (welche in 

 jedem Glied nur die Elemente einer Gruppe enthalten) durch den deutschen Buchstaben a und unter- 

 gesetzte Indices 1, 2 bezeichnet. Wir setzen entsprechend den Functionen (2) 



S-v, = a,, Sj'i = Oj, 



LX 



, _a,,, >:.r,>', =a,j, -y't^asa, 



i:.vif = n,,,, Lr^jf, = a,,2, ^Zx^y\-a^,,, il.v] - a^^j, (3) 



V,.r — ,, V,.i--1,, n , V.,r+1 — „ 



Während die Zahl der Elementarfunctionen (2) bei einer endlichen .Anzahl von Gruppen eine endliche 

 ist, ist die der einförmigen Functionen unendlich gross. Wir schliessen deshalb, dass die letzteren durch 

 unendlich viele identische Relationen untereinander verbunden sind. Auch sie können direct, wie wir im 

 §. 6 sehen werden, aus den Tabellen b und d entnommen werden. 



Eine symmetrische Function, welche nur eine Reihe von Elementen, z.B. x^x^. . .,v,. enthält, ist eine 

 einreihige oder binäre Function. Eine Function, welche die beiden Reihen .v, .r^ . . ..v, ; j', j'^ . . .jv zu- 

 gleich enthält, ist eine zweireihige oder ternäre symmetrische Function. 



* Denkschriften der kaiseii. Akademie. Mathem.-naturw. Cl. Bd. IV. 

 ** Mathem. Annalen, Bd. 38, 43 und 45. 



Denkschriften der mathem.-naturw. CI. LXI\'. Bd. 56 



