Die syiniiic/r. Finictioneu der genieinsch. Variableiipaare ternärev Formen. 445 



gelangen wir mit Hilfe der Operation <!>.,-' direct zu den weiteren Formeln: 



Die Processe (7), bezw. (8) sind bei der Berechnung der Tabellen stets mit Vortheil benützt worden. 



§. 3. 



Die isobaren Productcombinationen von elementaren, beziehungsweise einförmigen Functionen. 



Construction der Tabellen a) und bj. 



Jeder Elementarfunction 



«^ 



ß.//, — ä^x^x^. . .;t;x_J'x+i • • •J'it+'/. 



lässt sich diejenige einförmige Function 



axx = lx-\y\ 



eindeutig zuweisen, welche mit ihr isobar ist und umgekehrt. In Folge dieser eindeutigen Zuordnung ent- 

 spricht auch jeder Productcombination von Elementarfunctionen a^'. a^'^ . . . nur eine einzige Combination 

 von einförmigen Functionen o"'. a,' ..., deren Factoren mit denen der ersteren isobar sind und umge- 

 kehrt. Hieraus folgt der Satz: 



Die Anzahl sämmtlicher isobaren Productcombinationen von Elementarfunctionen 

 V o n d e n K e i h e n g e w i c h t s z a 1t 1 e n /', imd ;»2 i s t g 1 e i c h d e r A n z a h 1 a 1 1 e r P r o d u c t c o m b i n a t i o n e n 

 von einförmigen Functionen von denselben Gewichtszahlen y, und p.^. Hiebei ist vorausgesetzt, 

 dass die Gruppenzahl r beliebig hoch angenommen wird. 



Nun lassen sich nach den Methoden in §. 2 die Elementarfunctionen durch einförmige und umgekehrt 

 darstellen. Wir erhalten deshalb auch diese oder jene Art von isobarern Productcombinationen ausgedrückt 

 durch die Combinationen der andern Art, indem wir die Newton'schen Formeln in geeigneter Weise mit- 

 einander multipliciren. Man stellt diese Producte am einfachsten in zwei Tabellen a und b zusammen, in 

 welchen einerseits die isobaren Productcombinationen der einförmigen Functionen durch solche der 

 elementaren, anderseits die der Elementarfunctionen durch solche der einförmigen Functionen ausgedrückt 

 sind. Bei der Anordnung derselben in den Tabellen sind stets zuerst die Combinationen vom Grad Pi+p^, 

 dann diejenigen vom Grad p^+P2—\, Px+Pt — "^, ■ ■ ■ 3, 2, 1 von oben nach unten, bezw. von links nach 

 rechts angeschrieben worden. Hiebei ist zu bemerken, dass in der Tabelle a, bezw. b stets nur die letzte 

 Combiation a,,,;,. = I.^'['J'[^ bezw. rt^,,,,, = I.Vj.v^ . . ..t>,j>,+i . . .j>,+;,., nach den in §. 2 angegebenen 

 Methoden zu berechnen ist, während die übrigen Productcombinationen durch Entnahme der Factoren aus 

 den früheren Tabellen gebildet werden können. 



Hat man nur eine Gruppe von Elementen x^y^, so erhalten wir auch nur die Elementarfunctionen 

 (/, und «2 vom Gewicht 1, während alle übrigen Elementarfunctionen Ll^^cl^^a^^, . . identisch verschwinden. 

 Setzen wir alsdann noch .t', ^v, ^ 1, so nehmen auch sämmtliche einförmige Functionen a^a^a^^a^^a^^■.. 

 und damit auch deren Productcombinationen den Werth 1 an. Infolge dessen steht auch in jedem Feld der 

 ersten Colonne der Tabelle a) die Zahl 1. Da unter der obigen \'oraussetzung, mit Ausnahme von ^{'i av-^, 

 sämmtlicne Productcombinationen von elementaren Functionen der Tabellen bj verschwinden, so ergibt 

 sich für dieselben die Regel: 



Die algebraische Summe der Zahlencoefficienten jeder Zeile in den Tabellen b) ist 

 stets gleich Null. 



Da für r = 1 auch jede höhere zweiförmige, dreiförmige, /-förmige Function identisch verschwindet, 

 so gilt diese Regel auch für die Tabellen d), in welchen die mehrförmigen Functionen durch isobare Pro- 

 ducte der einförmigen Functionen ausgedrückt sind. Diese Regel kann als Controle der Rechnung bei der 

 Bildung der Tabellen benützt werden. 



