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+ ^lp,g,lp]-y}rl^„ ^^^ 



^-P,p^p.p.^l^i'-p.y~^C-po''-pl+ 3^Ai:7'r+ 8 (M)'-^^pl 



durch welche die mehrförmigen Functionen durch einförmige ausgedrückt sind, und die die Grundformehn 

 für die Entwicklung der zvveiförmigen, dreiförmigen, vierförmigen Functionen der Tabellen J) bilden. 



2. Am einfachsten sind die Tabellen der primitiven Functionen von irgend welchem Gewicht zu 

 berechnen, da dieselben die einfachsten Zahlencoefficienten besitzen. Wir haben in den Tabellen 91 — 108 

 die primitiven Functionen vom Gewicht 3 und 4 zusammengestellt. 



Sind diese Tabellen berechnet, so ergeben sich aus denselben durch Coincidenz von gewissen Reihen 

 direct weitere Tabellen für die Functionen von weniger Reihen und demselben Gewichte. 



Setzen wir beispielsweise in den Tabellen 91—96 z — x, so gehen dieselben in die zweireihigen 

 Functionen vom Gewicht 3 über, die wir in 25—30 zusammengestellt haben Für z = r = x ergeben sich 

 schliesslich die Tabellen der einreihigen Functionen 19 — 24. 



Ebenso gehen für / = .v die primitiven Functionen der Tabellen 97—102 in die dreireihigen Func- 

 tionen vom Gewicht j\ — 2, i\ — p^ — 1 der Tabellen 103—108 über. Aus diesen erhalten wir schliess- 

 lich für ;r=j', hez\\'.z-=x die zweireihigen Functionen der Tabellen 43 — 48, bezw. 37—42. 



§. 5. 



Die Differentialprocesse der zweireihigen symmetrischen Functionen. 

 1. Jede ternäre symmetrische Function von den Gewichtszahlen p^ und p^ hin.sichtlich der Reihen 



X und y: 



J = cp(fl), 



welche als Function der Elementarfunctionen dargestellt ist, genügt den beiden Differentialgleichungen: 



8rp 9'f 8» 



^^ '8a, 00)2 8«, 22 



( 3cp 8rp I ,\ 8cp 8'f ) 



I "8a,, '"Sflna ' '0^1, i öa,,,^ \ 



3(p 8'f 8'f 



PtJ = «2 ^.^ +«12 ^:^ +'^112 ä^T- + 



8a„ "^8a,,2 



8'f 8'f 8'f ( oi ^T . ^? 



(1) 



+ 2\a^^ ^ -^-a,„ ^-^ +auii <^f— + • ■ • + 3 ^^^2 ^-— +^^1222 3-; + ...\ + ..., 



{ " 8a22 öa,jj 0^1122 ' " ""^aza "'^'1222 



welche die Bedingungen ausdrücken, dass die Function J isobarisch und hinsichtlich der Reihen x und,v 

 vom Gewicht p^, bezw. p^ ist. 



Um beispielsweise die erste der Formeln (1) zu beweisen, ersetze man in / = 'f (a) die Elemente 

 x^x^...x,■ durch X.r,, U\, ..., X%,., dann ergibt sich, weil 'f isobarisch und vom Gewitch p^ sein soll, 



\F'J — 'f(a,X, «ijX...: a,,X^ a^^{^^,...). 



Wird diese Gleichung beiderseits nach X abgeleitet und nachträglich X = 1 gesetzt, so folgt direct 

 die erste der Gleichungen (1). 



Ist die Function J in Function der einförmigen Functionen a,, n.^, Uig, a.,^, ....... dargestellt 



J—J'{a), so sind die Bedingungen, dass diese Darstellung isobarisch und vom Gewicht />,, bezw. p.^ 



