Die synnuctr. Fiiiuiioucii der genieiusch. Wiriablcupaarc Icniärcr Fonncn. 451 



§. 6. 



Die mehrförmigen Functionen und die Relationen zwischen den elementaren und einförmigen 

 Functionen. Einrichtung und Eigenschaften der Tabellen c), d), e) und/). 



1. Das Product von / ganzen einförmigen Functionen 



P^=^x1'y^^^x'^-/;.. S.<'>'^'- (1) 



gibt aus multipliciert bel<anntlich eine Summe von isobaren ganzen symmetrischen Functionen, deren 

 Reihengewichtszahlen 



P\ = ^-i+^-s-^- • ■ • +5-.,, p^ — ß, +^24- . . .ß,-, 

 je gleich der Summe der Reihengewichtszahlen der einzelnen P'actoren sind. Wir erhalten 



p, .= 5, + i:s2+is.,+ . . . +i:5,„,+s„ (2) 



wo S5,, die Summe aller x-förmigen Functionen bezeichnen soll, die sich bei der ^Entwicklung des Pro- 

 ductes P, in symmetrische Functionen ergeben. In derselben ist S, nichts anderes als die einförmige 

 Function H;,,;,. und 



^, -^1 ->i ^2 >i; • ■ -^i yi 



die /-förmige Function, deren Theile die Factoren von P, sind. Diese kann somit durch P, und die übrigen 

 Functionen linear ausgedrückt werden. Es ist 



Die hierin auftretenden (/ — I)-förmigen Functionen iI5,_i können in derselben Weise durch (/ — Ül-fin-- 

 mige und diese durch (i — 3)-förmige, . . .etc. und wenigerförmige Functionen ausgedrückt werden. Indem 

 wir so successive an Stelle jeder mehrförmigen Function eine Summe von wenigerförmigen setzen, 

 gelangen wir schliesslich zu einem .Ausdruck für die Function S,, welcher nur noch isobare Product- 

 combinationen von einförmigen Functionen linear enthält: 



5, = i'i,+i:%_i+i:3(,_,+ . . .X- (3) 



wo die unteren Indices den Grad bezeichnen sollen, in welchem die einförmigen P\mctionen in den Product- 

 combinationen auftreten. Hieraus fliesst aber der Satz: 



Jede ganze /-förmige symmetrische Function lässt sich als ganze Function /'*•■" Grades 

 von einförmigen Functionen darstellen. 



Sind die / Theile der Function 5/ oder — was dasselbe ist — die Zahlen a,-f-ß|, 7.2-f-ß2, . • ■■ ^-i+ßp 

 sämmtlich von einander verschieden, so lässt sich S, durch die Formel ausdrücken: 



( - 1 )' -' 5, = i:(t, - 1) ! (T, _ 1 ) ! . . . (_ 1 )-i E.,fi.^^ ..., (4) 



wo E-^, £;., . . .einförmige F"unctionen bezeichnen, welche bezw. aus t.,Tj,. . . Theilen der /-förmigen Fimc- 

 tionen 5,- zusammengesetzt sind und t die Anzahl dieser Functionen in jedem Glied angibt. 



Mit Hilfe dieser P'ormel können die Coefficienten der Tabellen d/ ebenfalls sehr leicht angeschrieben 

 werden. 



Ersetzt man die einförmigen Functionen in (3) oder (4) nach §. 2 oder mit Hilfe der Tabellen (a) durch 

 ihre Ausdrücke in den isobaren Combinationen der Elementarfunctionen, so erhalten wir 5, ausgedrückt 

 als ganze Function der letzteren. Wir können diese Darstellung allgemein in der Form annehmen 



S, = aAi, + l{iAi,^i+l-!Ap_2 + I.Mp^s+ . . . +-.Ap,p.,. (5) 



wo y :=y', +yi.^ das Gewicht der Function 5, und i)T.4^,_./. die Summe aller isobaren Productcombinationen 

 elementarer Functionen vom Grad/' — v. und dem Gewicht/' bezeichnen soll. 



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